В этой статье мы покажем, как даются определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла и числа в тригонометрии . Здесь же мы поговорим об обозначениях, приведем примеры записей, дадим графические иллюстрации. В заключение проведем параллель между определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии и геометрии.

Навигация по странице.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Проследим за тем, как формируются представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе в школьном курсе математики. На уроках геометрии дается определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. А позже изучается тригонометрия, где говорится о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе угла поворота и числа. Приведем все эти определения, приведем примеры и дадим необходимые комментарии.

Острого угла в прямоугольном треугольнике

Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.

Определение.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Определение.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Там же вводятся обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса – sin , cos , tg и ctg соответственно.

Например, если АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С , то синус острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB , то есть, sin∠A=BC/AB .

Эти определения позволяют вычислять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла по известным длинам сторон прямоугольного треугольника, а также по известным значениям синуса, косинуса, тангенса, котангенса и длине одной из сторон находить длины других сторон. Например, если бы мы знали, что в прямоугольном треугольнике катет AC равен 3 , а гипотенуза AB равна 7 , то мы могли бы вычислить значение косинуса острого угла A по определению: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Угла поворота

В тригонометрии на угол начинают смотреть более широко - вводят понятие угла поворота . Величина угла поворота, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов, угол поворота в градусах (и в радианах) может выражаться каким угодно действительным числом от −∞ до +∞ .

В этом свете дают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса уже не острого угла, а угла произвольной величины - угла поворота. Они даются через координаты x и y точки A 1 , в которую переходит так называемая начальная точка A(1, 0) после ее поворота на угол α вокруг точки O – начала прямоугольной декартовой системы координат и центра единичной окружности .

Определение.

Синус угла поворота α - это ордината точки A 1 , то есть, sinα=y .

Определение.

Косинусом угла поворота α называют абсциссу точки A 1 , то есть, cosα=x .

Определение.

Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A 1 к ее абсциссе, то есть, tgα=y/x .

Определение.

Котангенсом угла поворота α называют отношение абсциссы точки A 1 к ее ординате, то есть, ctgα=x/y .

Синус и косинус определены для любого угла α , так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол α . А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов α , при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, −1) , а это имеет место при углах 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgα=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов α , при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (−1, 0) , а это имеет место для углов 180°·k , k∈Z (π·k рад).

Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k , k∈Z (π·k рад).

В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin , cos , tg и ctg , они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot , отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30° , записям tg(−24°17′) и ctgα отвечают тангенс угла поворота −24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота α . Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3·π .

В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.

Также скажем, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике согласуются с только что данными определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота величиной от 0 до 90 градусов. Это мы обоснуем .

Числа

Определение.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называют число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла поворота в t радианов соответственно.

Например, косинус числа 8·π по определению есть число, равное косинусу угла в 8·π рад. А косинус угла в 8·π рад равен единице, поэтому, косинус числа 8·π равен 1 .

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Он состоит в том, что каждому действительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности с центром в начале прямоугольной системы координат, и синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки. Остановимся на этом подробнее.

Покажем, как устанавливается соответствие между действительными числами и точками окружности:

• числу 0 ставится в соответствие начальная точка A(1, 0) ;
• положительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности, в которую мы попадем, если будем двигаться по окружности из начальной точки в направлении против часовой стрелки и пройдем путь длиной t ;
• отрицательному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности, в которую мы попадем, если будем двигаться по окружности из начальной точки в направлении по часовой стрелке и пройдем путь длиной |t| .

Теперь переходим к определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа t . Допустим, что числу t соответствует точка окружности A 1 (x, y) (например, числу &pi/2; отвечает точка A 1 (0, 1) ).

Определение.

Синусом числа t называют ординату точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, sint=y .

Определение.

Косинусом числа t называют абсциссу точки единичной окружности, отвечающей числу t , то есть, cost=x .

Определение.

Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, tgt=y/x . В другой равносильной формулировке тангенс числа t – это отношение синуса этого числа к косинусу, то есть, tgt=sint/cost .

Определение.

Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, ctgt=x/y . Другая формулировка такова: тангенс числа t – это отношение косинуса числа t к синусу числа t : ctgt=cost/sint .

Здесь отметим, что только что данные определения согласуются с определением, данным в начале этого пункта. Действительно, точка единичной окружности, соответствующая числу t , совпадает с точкой, полученной в результате поворота начальной точки на угол в t радианов.

Еще стоит прояснить такой момент. Допустим, перед нами запись sin3 . Как понять, о синусе числа 3 или о синусе угла поворота в 3 радиана идет речь? Обычно это ясно из контекста, в противном случае это скорее всего не имеет принципиального значения.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Согласно данным в предыдущем пункте определениям, каждому углу поворота α соответствуют вполне определенное значение sinα , как и значение cosα . Кроме того, всем углам поворота, отличным от 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад) отвечают значения tgα , а отличным от 180°·k , k∈Z (π·k рад) – значения ctgα . Поэтому sinα , cosα , tgα и ctgα - это функции угла α . Другими словами – это функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить и про функции синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Действительно, каждому действительному числу t отвечает вполне определенное значение sint , как и cost . Кроме того, всем числам, отличным от π/2+π·k , k∈Z соответствуют значения tgt , а числам π·k , k∈Z - значения ctgt .

Функции синус, косинус, тангенс и котангенс называют основными тригонометрическими функциями .

Из контекста обычно понятно, с тригонометрическими функциями углового аргумента или числового аргумента мы имеем дело. В противном случае мы можем считать независимую переменную как мерой угла (угловым аргументом), так и числовым аргументом.

Однако, в школе в основном изучаются числовые функции, то есть, функции, аргументы которых, как и соответствующие им значения функции, являются числами. Поэтому, если речь идет именно о функциях, то целесообразно считать тригонометрические функции функциями числовых аргументов.

Связь определений из геометрии и тригонометрии

Если рассматривать угол поворота α величиной от 0 до 90 градусов, то данные в контексте тригонометрии определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота полностью согласуются с определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, которые даются в курсе геометрии. Обоснуем это.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат Oxy единичную окружность. Отметим начальную точку A(1, 0) . Повернем ее на угол α величиной от 0 до 90 градусов, получим точку A 1 (x, y) . Опустим из точки А 1 на ось Ox перпендикуляр A 1 H .

Легко видеть, что в прямоугольном треугольнике угол A 1 OH равен углу поворота α , длина прилежащего к этому углу катета OH равна абсциссе точки A 1 , то есть, |OH|=x , длина противолежащего к углу катета A 1 H равна ординате точки A 1 , то есть, |A 1 H|=y , а длина гипотенузы OA 1 равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. Тогда по определению из геометрии синус острого угла α в прямоугольном треугольнике A 1 OH равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |=y/1=y . А по определению из тригонометрии синус угла поворота α равен ординате точки A 1 , то есть, sinα=y . Отсюда видно, что определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике эквивалентно определению синуса угла поворота α при α от 0 до 90 градусов.

Аналогично можно показать, что и определения косинуса, тангенса и котангенса острого угла α согласуются с определениями косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α .

Список литературы.

1. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-е изд. М.: Просвещение, 2010. - 384 с.: ил. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А. В. Погорелов. - 2-е изд - М.: Просвещение, 2001. - 224 с.: ил. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Алгебра и элементарные функции : Учебное пособие для учащихся 9 класса средней школы / Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцией доктора физико-математических наук О. Н. Головина.- 4-е изд. М.: Просвещение, 1969.
4. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
5. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - И.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cos α) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (t g α) - отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (c t g α) - отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от - ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1 , 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 (x , y).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α - это ордината точки A 1 (x , y). sin α = y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α - это абсцисса точки A 1 (x , y). cos α = х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A 1 (x , y) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α - это отношение абсциссы точки A 1 (x , y) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0 , 1) и (0 , - 1). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)

При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота α ". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности - точка A c координатами (1 , 0).

Положительному числу t

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t - ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t - абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t - отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t , совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α - это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t . Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс - основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A (1 , 0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 (x , y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 (x , y) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 (x , y) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

Синус, косинус произвольного угла

Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР , который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ . Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1 .

Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ , то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным , если же он двигается против движения часовой стрелки - положительным .

Синусом угла ОР , является ордината точки Р вектора на окружности.

То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.

Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1 , то sin(α) = y 0 .

В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой - отрицательное.

Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР , является абсцисса точки Р вектора на окружности.

То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.

Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1 , то cos(α) = x 0 .

В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей - отрицательное.

Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу.

Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.

Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.

Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.

Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение

|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .

Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

Тангенс

Где n - целое.

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.

График функции тангенс, y = tg x

Котангенс

Где n - целое.

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции котангенс, y = ctg x

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс - нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

	y = tg x	y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Возрастание		-
Убывание	-
Экстремумы	-	-
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	-

Формулы

Выражения через синус и косинус

; ;
; ;
;

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; .

.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.

При .

при .
где B n - числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.

Арктангенс, arctg

, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg

, где n - целое.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Инструкция

Если необходимо найти косинус угла в произвольном треугольнике, необходимо воспользоваться теоремой косинусов:
если угол острый: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
если угол : cos? = (с2 – a2 – b2)/(2ab), где а, b – длины сторон прилежащих к углу, с – длина стороны противолежащей углу.

Полезный совет

Математическое обозначение косинуса – cos.
Значение косинуса не может быть больше 1 и меньше -1.

Источники:

• как вычислить косинус угла
• Тригонометрические функции на единичной окружности

Косинус - это базовая тригонометрическая функция угла. Умение определять косинус пригодится в векторной алгебре при определении проекций векторов на различные оси.

Инструкция

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)

Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.

Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.

Обозначим противоположный стороне а угол через?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8

Ответ: 0,8.

Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинус а угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).

Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.

Рассмотрим все варианты:

Найти соs?, если известны длины сторон а и b ( треугольника)

Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)

Чтобы правильность полученной формулы, подставим в нее из примера 1, т.е.

Проделав элементарные вычисления, получаем:

Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:

Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Подставляя значения а=3 и с=5 из примера, получаем:

Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).

Найти соs?

Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:

Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу? катет является проекцией гипотенузы, его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.

Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:

Значит, все наши формулы верны.

Совет 5: Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник, вероятно, - одна из самых известных, с исторической точки зрения, геометрических фигур. Пифагоровым "штанам" конкуренцию может составить лишь "Эврика!" Архимеда.

Вам понадобится

• - чертеж треугольника;
• - линейка;
• - транспортир.

Инструкция

Сумма углов треугольника составляет 180 градусов. В прямоугольном треугольнике один угол (прямой) всегда будет 90 градусов, а остальные острыми, т.е. меньше 90 градусов каждый. Чтобы определить, какой угол в прямоугольном треугольнике является прямым, измерьте с помощью линейки стороны треугольника и определите наибольшую. Она гипотенуза (AB) и располагается напротив прямого угла (C). Остальные две стороны образуют прямой угол и катетами (AC, BC).

Когда определили, какой угол является острым, вы можете либо величину угла при помощи транспортира, либо рассчитать с помощью математических формул.

Чтобы определить величину угла с помощью транспортира, совместите его вершину (обозначим ее буквой А) с специальной отметкой на линейке в центре транспортира, катет АС должен совпадать с ее верхним краем. Отметьте на полукруглой части транспортира точку, через которую гипотенуза AB. Значение в этой точке соответствует величине угла в градусах. Если на транспортире указаны 2 величины, то для острого угла нужно выбирать меньшую, для тупого - большую.

Полученное значение найдите в справочных Брадиса и определите какому углу соответствует полученное числовое значение. Этим методом пользовались наши бабушки.

В наше достаточно взять с функцией вычисления тригонометрических формул. Например, встроенный калькулятор Windows. Запустите приложение "Калькулятор", в пункте меню "Вид" выберете пункт "Инженерный". Вычислите синус искомого угла, например, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

Переключите калькулятор в режим обратных функций, кликнув по кнопке INV на табло калькулятора, затем кликните по кнопке функции арксинуса (на табло обозначена, как sin в минус первой степени). В окошке расчета появится следующая надпись: asind (0.5) = 30. Т.е. значение искомого угла - 30 градусов.

Источники:

• Таблицы Брадиса (синусы, косинусы)

Теорема косинусов в математике чаще всего используется в том случае, когда необходимо найти третью сторону по углу и двум сторонам. Однако, иногда условие задачи поставлено наоборот: требуется найти угол при заданных трех сторонах.

Инструкция

Представьте себе, что дан треугольник, у которого известны длины двух сторон и значение одного угла. Все углы этого треугольника не равны друг другу, а его стороны также являются различными по величине. Угол γ лежит напротив стороны треугольника, обозначенной, как AB, которая является этой фигуры. Через данный угол, а также через оставшиеся стороны AC и BC можно найти ту сторону треугольника, которая неизвестна, по теореме косинусов, выведя на ее основе представленную ниже формулу:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, где a=BC, b=AB, c=AC
Теорему косинусов иначе называют обобщенной теоремой Пифагора.

Теперь представьте себе, что даны все три стороны фигуры, но при этом ее угол γ неизвестен. Зная, что вид a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Затем приведите показанное выше уравнение к несколько иному виду: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Осталось подставить в формулу числа и осуществить вычисления.

Чтобы найти косинус , обозначенного как γ, его необходимо выразить через обратную тригонометрическую , называемую арккосинусом. Арккосинусом числа m значение угла γ, для которого косинус угла γ равен m. Функция y=arccos m является убывающей. Представьте себе, например, что косинус угла γ равен одной второй. Тогда угол γ может быть определен через арккосинус следующим образом:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, где m = 1/2.
Аналогичным образом можно найти и остальные углы треугольника при двух других неизвестных его сторонах.

Синус и косинус - две тригонометрические функции, которые называют «прямыми». Именно их приходится вычислять чаще других и для решения этой задачи сегодня каждый из нас имеет немалый выбор вариантов. Ниже приведено несколько наиболее простых способов.

Инструкция

Используйте транспортир, карандаш и лист бумаги, если других средств вычисления нет под рукой. Одно из определений косинуса дается через острые углы в прямоугольном треугольнике - его равно соотношению между длиной катета, лежащего напротив этого угла и длиной . Нарисуйте треугольник, в котором один из углов будет прямым (90°), а другой углу, которого требуется вычислить. Длина сторон при этом не имеет значения - нарисуйте их такими, которые вам удобнее измерять. Измерьте длину нужного катета и гипотенузы и разделите первое на второе любым удобным способом.

Воспользуйтесь возможностью значения тригонометрических функций с помощью калькулятора, встроенного в поисковую систему Nigma, если у вас есть доступ в интернет. Например, если требуется вычислить косинус угла в 20°, то загрузив главную страницу сервиса http://nigma.ru наберите в поле поискового запроса «косинус 20 » и нажмите кнопку «Найти!». Можно «градусов» опустить, а слово «косинус» заменить на cos - в любом случае поисковик покажет результат с точностью до 15 знаков после запятой (0,939692620785908).

Откройте стандартную программу- , устанавливаемую вместе с операционной системой Windows, если нет доступа к интернету. Сделать это можно, например, одновременно нажав клавиши win и r, затем введя команду calc и щелкнув по кнопке OK. Для вычисления тригонометрических функций здесь интерфейс, с названием «инженерный» или «научный» (в зависимости от версии ОС) - выберите нужный пункт в разделе «Вид» меню калькулятора. После этого введите величину угла в и щелкните по кнопке cos в интерфейсе программы.

Видео по теме

Совет 8: Как определить углы в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, можно вычислять другие. Для этого используются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии.