Рассмотрим прямой стержень постоянного поперечного сечения, жестко закрепленный сверху. Пусть стержень имеет длину и нагружен растягивающей силой F . От действия этой силы длина стержня увеличивается на некоторую величину Δ (рис.9.7,а).
При сжатии стержня такой же силой F длина стержня сократится на такую же величину Δ (рис.9.7,б).
Величина Δ , равная разности между длинами стержня после деформации и до деформации, называется абсолютной линейной деформацией (удлинением или укорочением) стержня при его растяжении или сжатии.
Отношение абсолютной линейной деформации Δ к первоначальной длине стержня называется относительной линейной деформацией и обозначается буквой ε илиε x ( где индекс x указывает направление деформации). При растяжении или сжатии стержня величину ε просто называют относительной продольной деформацией стержня. Она определяется по формуле:
Многократные исследования процесса деформирования растянутого или сжатого стержня в упругой стадии, подтвердили существование прямой пропорциональной зависимости между нормальным напряжением и относительной продольной деформацией. Эта зависимость называется законом Гука и имеет вид:
Величина E называется модулем продольной упругости или модулем первого рода. Она является физической постоянной (константой) для каждого вида материала стержня и характеризует его жесткость. Чем больше величина E , тем меньше будет продольная деформация стержня. Величина E измеряется в тех же единицах, что и напряжение, то есть в Па , МПа , и тому подобное. Величины модуля упругости содержатся в таблицах справочной и учебной литературы. Например, величина модуля продольной упругости стали принимается равной E = 2∙10 5 МПа , а древесины
E = 0,8∙10 5 МПа.
При расчете стержней на растяжение или сжатие, часто возникает необходимость определения величины абсолютной продольной деформации , если известна величина продольной силы, площадь поперечного сечения и материал стержня. Из формулы (9.8) найдем: . Заменим в этом выражении ε его значением из формулы (9.9). В результате получим = . Если использовать формулу нормального напряжения , тополучим окончательную формулу для определения абсолютной продольной деформации:
Произведение модуля продольной упругости на площадь поперечного сечения стержня называется его жесткостью при растяжении или сжатии.
Анализируя формулу (9.10) сделаем существенный вывод: абсолютная продольная деформация стержня при растяжении (сжатия) прямо пропорциональная произведению продольной силы на длину стержня и обратно пропорциональная его жесткости .
Заметим, что формула (9.10) может быть использована в том случае, когда поперечное сечение стержня и продольная сила имеют постоянные значения по всей его длине. В общем случае, когда стержень имеет ступенчато переменную жесткость и загружен по длине несколькими силами, нужно разделить его на участки и определить абсолютные деформации каждого из них по формуле (9.10).
Алгебраическая сумма абсолютных деформаций каждого участка будет равняться абсолютной деформации всего стержня, то есть:
Продольные деформации стержня от действия равномерно распределенной нагрузки вдоль его оси (например, от действия собственного веса), определяется следующей формулой, которую приводим без доказательства:
В случае растяжения или сжатия стержня, кроме продольных деформаций возникают также поперечные деформации, как абсолютные, так и относительные. Обозначим через b размер поперечного сечения стержня до деформации. При растяжении стержня силой F этот размер уменьшится на величину Δb , которая является абсолютной поперечной деформацией стержня. Эта величина имеет отрицательный знак.При сжатии, напротив, абсолютная поперечная деформация будет иметь положительный знак (рис. 9.8).
Изменение размеров, объема и возможно формы тела, при внешнем воздействии на него, называют в физике деформацией. Тело деформируется при растяжении, сжатии или (и), при изменении его температуры.
Деформация появляется тогда, когда разные части тела совершают разные перемещения. Так, например, если резиновый шнур тянуть за концы, то разные его части сместятся относительно друг друга, и шнур окажется деформированным (растянется, удлинится). При деформации изменяются расстояния между атомами или молекулами тел, поэтому возникают силы упругости.
Пусть прямой брус, длиной и, имеющий постоянное сечение, закреплен одним концом. За другой конец его растягивают, прикладывая силу (рис.1). При этом тело удлиняется на величину , которую называют абсолютным удлинением (или абсолютной продольной деформацией).
В любой точке рассматриваемого тела имеется одинаковое напряженное состояние. Линейную деформацию () при растяжении и сжатии подобных объектов называют относительным удлинением (относительной продольной деформацией):
Относительная продольная деформация
Относительная продольная деформация - величина безразмерная. Как правило относительное удлинение много меньше единицы ().
Деформацию удлинения обычно считают положительной, а деформацию сжатия отрицательной.
Если напряжение в брусе не превышает некоторого предела, экспериментально установлена зависимость:
где - продольная сила в поперечных сечениях бруса; S - площадь поперечного сечения бруса; E - модуль упругости (модуль Юнга) - физическая величина, характеристика жёсткости материала. Принимая о внимание то, что нормальное напряжение в поперечном сечении ():
Абсолютное удлинение бруса можно выразить как:
Выражение (5) является математической записью закона Р. Гука, который отражает прямую зависимость между силой и деформацией при небольших нагрузках.
В следующей формулировке, закон Гука используется не только при рассмотрении растяжения (сжатия) бруса: Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.
Относительная деформация при сдвиге
При сдвиге относительную деформацию характеризуют при помощи формулы:
где - относительный сдвиг; - абсолютный сдвиг слоев параллельных по отношению друг к другу; h — расстояние между слоями; - угол сдвига.
Закон Гука для сдвига записывают как:
где G - модуль сдвига, F - сила, вызывающая сдвиг, параллельная сдвигающимся слоям тела.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Каково относительное удлинение стального стержня, если его верхний конец закреплен неподвижно (рис.2)? Площадь поперечного сечения стержня . К нижнему концу стержня прикреплен груз массой кг. Считайте, что собственная масса стержня много меньше, чем масса груза.
|
| Решение | Сила, которая заставляет стержень растягиваться, равна силе тяжести груза, который находится на нижнем конце стержня. Эта сила действует вдоль оси стержня. Относительное удлинение стержня найдем как:
где . Прежде чем проводить расчет, следует найти в справочниках модуль Юнга для стали. Па. |
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Нижнее основание металлического параллелепипеда с основанием в виде квадрата со стороной a и высотой h закреплено неподвижно. На верхнее основание параллельно основанию действует сила F (рис.3). Какова относительная деформация сдвига ()? Модуль сдвига (G) считайте известным. |
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой линейной зависимостью, которая называется законом Гука
, по имени английского физика Р. Гука (1653-1703 г.г.), установившего этот закон.
Сформулировать закон Гука можно так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению
.
Математически эта зависимость записывается так:
σ = E ε .
Здесь Е
– коэффициент пропорциональности, который характеризует жесткость материала бруса, т. е. его способность сопротивляться деформации; его называют модулем продольной упругости
, или модулем упругости первого рода
.
Модуль упругости, как и напряжение, выражаются в паскалях (Па)
.
Значения Е
для различных материалов устанавливаются экспериментально-опытным путем, и их величину можно найти в соответствующих справочниках.
Так, для стали Е = (1,96.…2,16) х 105 МПа, для меди Е = (1,00...1,30) х 105 МПа и т. д.
Следует оговориться, что закон Гука справедлив лишь в определенных пределах нагружения.
Если в формулу закона Гука подставить полученные ранее значения относительного удлинения и напряжения: ε = Δl / l
, σ = N / А
, то можно получить следующую зависимость:
Δl = N l / (E А) .
Произведение модуля упругости на площадь сечения Е ×А , стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса.
Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
Выражение Е А / l
называют жесткостью бруса при растяжении и сжатии
.
Приведенные выше формулы закона Гука справедливы лишь для брусьев и их участков, имеющих постоянное поперечное сечение, изготовленных из одного материала и при постоянной силе. Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса определяется, как алгебраическая сумма удлинений или укорочений отдельных участков:
Δl = Σ (Δl i)
Деформация
Деформация (англ. deformation ) - это изменение формы и размеров тела (или части тела) под действием внешних сил, при изменении температуры, влажности, фазовых превращениях и других воздействиях, вызывающих изменение положения частиц тела. При увеличении напряжения деформация может закончиться разрушением. Способность материалов сопротивляться деформации и разрушению под воздейстивем различного вида нагрузок характеризуется механическими свойствами этих материалов.
На появление того или иного вида деформации большое влияние оказывает характер приложенных к телу напряжений. Одни процессы деформации связаны с преобладающим действием касательной составляющей напряжения, другие - с действием его нормальной составляющей.
Виды деформации
По характеру приложенной к телу нагрузки виды деформации подразделяют следующим образом:
- Деформация растяжения;
- Деформация сжатия;
- Деформация сдвига (или среза);
- Деформация при кручении;
- Деформация при изгибе.
К простейшим видам деформации относятся: деформация растяжения, деформация сжатия, деформация сдвига. Выделяют также следующие виды деформации: деформация всестороннего сжатия, кручения, изгиба, которые представляют собой различные комбинации простейших видов деформации (сдвиг, сжатие, растяжение), так как сила приложенная к телу, подвергаемому деформации, обычно не перпендикулярна его поверхности, а направлена под углом, что вызывает как нормальные, так и касательные напряжения. Изучением видов деформации занимаются такие науки, как физика твёрдого тела, материаловедение, кристаллография.
В твёрдых телах, в частности - металлах, выделяют два основных вида деформаций - упругую и пластическую деформацию, физическая сущность которых различна.
Сдвигом называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникают только перерезывающие силы . Такое напряженное состояние соответствует действию на стержень двух равных противоположно направленных и бесконечно близко расположенных поперечных сил (рис. 2.13, а, б ), вызывающих срез по плоскости, расположенной между силами.
Рис. 2.13. Деформация и напряжения при сдвиге
Срезу предшествует деформация – искажение прямого угла между двумя взаимно-перпендикулярными линиями. При этом на гранях выделенного элемента (рис. 2.13, в ) возникают касательные напряжения. Величина смещения граней называется абсолютным сдвигом . Значение абсолютного сдвига зависит от расстояния h между плоскостями действия сил F . Более полно деформацию сдвига характеризует угол , на который изменяются прямые углы элемента – относительный сдвиг:
. (2.27)
Используя ранее рассмотренный метод сечений, легко убедиться, что на боковых гранях выделенного элемента возникают только перерезывающие силыQ=F , являющиеся равнодействующими касательных напряжений:
Принимая во внимание, что касательные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению А , их значение определяется соотношением:
. (2.29)
Экспериментально установлено, что в пределах упругих деформаций величина касательных напряжений пропорциональна относительному сдвигу (закон Гука при сдвиге):
где G – модуль упругости при сдвиге (модуль упругости второго рода).
Между модулями продольной упругости и сдвига существует взаимосвязь
,
где – коэффициент Пуассона.
Приближенные значения модуля упругости при сдвиге, МПа: сталь – 0,8·10 5 ; чугун – 0,45·10 5 ; медь – 0,4·10 4 ; алюминий – 0,26·10 5 ; резина – 4.
2.4.1.1. Расчеты на прочность при сдвиге
Чистый сдвиг в реальных конструкциях реализовать крайне сложно, так как вследствие деформации соединяемых элементов происходит дополнительный изгиб стержня, даже при сравнительно небольшом расстоянии между плоскостями действия сил. Однако в ряде конструкций нормальные напряжения в сечениях малы и ими можно пренебречь. В этом случае условие прочностной надежности детали имеет вид:
, (2.31)
где – допускаемые напряжение на срез, которые обычно назначают в зависимости от величины допускаемого напряжения при растяжении:
– для пластичных материалов при статической нагрузке =(0,5…0,6) ;
– для хрупких – =(0,7 … 1,0) .
2.4.1.2. Расчеты на жесткость при сдвиге
Они сводятся к ограничению упругих деформаций. Решая совместно выражение (2.27)–(2.30), определяют величину абсолютного сдвига:
, (2.32)
где – жесткость при сдвиге.
Кручение
2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов
2.4.2.2. Деформации при кручении
2.4.2.4. Геометрические характеристики сечений
2.4.2.5. Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Кручением называют такой вид деформации, когда в поперечных сечениях возникает единственный силовой фактор – крутящий момент .
Деформация кручения происходит при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси.
2.4.2.1. Построение эпюр крутящих моментов
Для определения напряжений и деформаций бруса строят эпюру крутящих моментов, показывающую распределение крутящих моментов по длине бруса. Применив метод сечений и рассмотрев в равновесии любую часть, станет очевидно, что момент внутренних сил упругости (крутящий момент ) должен уравновесить действие внешних (вращающих) моментов на рассматриваемую часть бруса. Принято момент считать положительным, если наблюдатель смотрит на рассматриваемое сечение со стороны внешней нормали и видит вращающий момент Т , направленным против хода движения часовой стрелки. При противоположном направлении моменту приписывается знак минус.
Например, условие равновесия для левой части бруса имеет вид (рис. 2.14):
– в сечении А-А:
– в сечении Б-Б :
.
Границами участков при построении эпюры являются плоскости действия вращающих моментов .
Рис. 2.14. Расчетная схема бруса (вала) при кручении
2.4.2.2. Деформации при кручении
Если на боковую поверхность стержня круглого поперечного сечения нанести сетку (рис. 2.15, а ) из равноотстоящих окружностей и образующих, а к свободным концам приложить пары сил с моментами Т в плоскостях, перпендикулярных к оси стержня, то при малой деформации (рис. 2.15, б ) можно обнаружить:
Рис. 2.15. Схема деформации при кручении
· образующие цилиндра превращаются в винтовые линии большого шага;
· квадраты, образованные сеткой, превращаются в ромбы, т.е. происходит сдвиг поперечных сечений;
· сечения, круглые и плоские до деформации, сохраняют свою форму и после деформации;
· расстояние между поперечными сечениями практически не изменяется;
· происходит поворот одного сечения относительно другого на некоторый угол.
На основании этих наблюдений теория кручения бруса основана на следующих допущениях:
· поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации;
· равноотстоящие поперечные сечения поворачиваются относительно друг друга на равные углы;
· радиусы поперечных сечений в процессе деформации не искривляются;
· в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Нормальные напряжения малы. Длину бруса можно считать неизменной;
· материал бруса при деформации подчиняется закону Гука при сдвиге: .
В соответствии с этими гипотезами кручение стержня круглого поперечного сечения представляют как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений.
На стержне круглого поперечного сечения радиусом r , заделанным одним концом и нагруженным вращающим моментом Т на другом конце (рис. 2.16, а ), обозначим на боковой поверхности образующую АD , которая под действием момента займет положение АD 1 . На расстоянии Z от заделки выделим элемент длиной dZ . Левый торец этого элемента в результате кручения повернется на угол , а правый – на угол (). Образующая ВС элемента займет положениеВ 1 С 1 , отклонившись от исходного положения на угол . В силу малости этого угла
Отношение представляет угол закручивания единицы длины стержня и называется относительным углом закручивания . Тогда
Рис. 2.16. Расчетная схема определения напряжений
при кручении стержня круглого поперечного сечения
Принимая во внимание (2.33), закон Гука при кручении можно описать выражением:
. (2.34)
В силу гипотезы, что радиусы круглых поперечных сечений не искривляются, касательные напряжения сдвига в окрестностях любой точки тела, находящейся на расстоянии от центра (рис. 2.16, б ), равны произведению
т.е. пропорциональны расстоянию ее до оси.
Значение относительного угла закручивания по формуле (2.35) может быть найдено из условия, что элементарная окружная сила () на элементарной площадке размером dA , расположенной на расстоянии от оси бруса, создает относительно оси элементарный момент (рис. 2.16, б ):
Сумма элементарных моментов, действующих по всему поперечному сечению А , равна крутящему моменту М Z . Считая, что :
.
Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику и носит название полярного момента инерции сечения .
Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной l, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Р (рис. 2.9, а). Под действием силы Р брус удлиняется на некоторую величину?l, которая называется полным, или абсолютным, удлинением (абсолютной продольной деформацией).
В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние, и, следовательно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. Поэтому значение можно определить как отношение абсолютного удлинения?l к первоначальной длине бруса l, т.е. . Линейную деформацию при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением, или относительной продольной деформацией, и обозначают
Следовательно,
Относительная продольная деформация измеряется в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис. 2.9, а), а деформацию сжатия - отрицательной (рис. 2.9, б).
Чем больше величина силы, растягивающей брус, тем больше, при прочих равных условиях, удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:
Здесь N - продольная сила в поперечных сечениях бруса;
F - площадь поперечного сечения бруса;
Е - коэффициент, зависящий от физических свойств материала.
Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса получаем
Абсолютное удлинение бруса выражается формулой
т.е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе.
Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.).
Более общей является следующая формулировка закона Гука относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.
Величина Е, входящая в формулы, называется модулем продольной упругости (сокращенно - модулем упругости). Эта величина - физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформации.
Произведение EF называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.
Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить b, а после приложения этих сил b+?b (рис. 9.2), то величина?b будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса. Отношение является относительной поперечной деформацией.
Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная поперечная деформацией прямо пропорциональна относительной продольной деформации е, но имеет обратный знак:
Коэффициент пропорциональности в формуле (2.16) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона, и представляет собой отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т.е.
Коэффициент Пуассона, наряду с модулем упругости Е, характеризует упругие свойства материала.
Величина коэффициента Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов она имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25-0,30; для ряда других метало (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36.
Таблица 2.1 Значения модуля упругости.
Таблица 2.2 Значения коэффициента поперечной деформации (коэффициент Пуассона)
Лекция №5
Тема: « Растяжение и сжатие »
Вопросы:
1. Нормальные напряжения при растяжении и сжатии
2. Определение продольной и поперечной деформации. Закон Гука
4. Температурные напряжения
5. Монтажные напряжения
1. Нормальные напряжения при растяжении и сжатии
Если на поверхность призматического стержня нанести сетку линий, параллельных и перпендикулярных оси стержня, и приложить к нему растягивающую силу, то можно убедиться в том, что линии сетки и после деформации останутся взаимно перпендикулярными (см. рис. 1).
Рис. 1
Все горизонтальные линии, например, cd переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми. Можно предположить также, что и внутри стержня будет такая же картина, т.е. "поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации". Эта важная гипотеза носит название гипотезы плоских сечений или гипотезы Бернулли. Формулы, полученные на основе этой гипотезы, подтверждаются результатами опытов.
Такая картина
деформаций дает основание считать, что
в поперечных сечениях действуют только
нормальные напряжения, одинаковые во
всех точках сечения, а касательные
напряжения равны нулю. Если бы возникали
касательные напряжения, то наблюдалась
бы угловая деформация, и углы между
продольными и поперечными линиями
перестали бы быть прямыми. Если бы
нормальные напряжения были не одинаковыми
во всех точках сечения, го там, где
напряжения выше, была бы и больше
деформация, а следовательно, поперечные
сечения не были бы плоскими и параллельными.
Приняв гипотезу плоских сечений мы
устанавливаем, что
.
Поскольку продольная
сила является равнодействующей внутренних
сил
,
возникающих на бесконечно малых площадках
(см. рис 3.2) ее можно представить в виде:
Рис. 2
Постоянные величины можно выносить за знак интеграла:
где А площадь поперечного сечения.
Получаем формулу для нахождения нормальных напряженней при растяжении или сжатии:
(1)
Это одна из важнейших формул в сопротивлении материалов поэтому ее выделим в рамочки и также будем поступать в дальнейшем.
При растяжении
положительно, при сжатии
отрицательно.
Если на брус действует только одна внешняя сила F , то
N = F ,
и напряжения можно определять по формуле:
2. Определение продольной и поперечной деформации
В упругой стадии работы большинства конструкционных материалов напряжения и деформации связаны прямой зависимостью, называемой законом Гука:
(2)
где Е модуль продольной упругости или модуль Юнга, измеряется в МПа, характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформациям, его значения приведены в таблицax справочника;
относительная
продольная деформация, величина
безразмерная, так как:
; (3)
абсолютное
удлинение стержня, м;
l первоначальная длина, м.
Чем выше значение модуля продольной упругости Е, тем меньше деформация. Например, для стали Е=2,110 5 МПа, а для чугуна Е=(0,75…1,6)10 5 МПа, поэтому элемент конструкции из чугуна при одинаковых прочих условиях получит большую деформацию, чем со стали. Здесь не надо путать с тем, что доведенный до разрыва стержень из стали будет иметь значительно большую деформацию, чем чугунный. Речь идет не об предельной деформации, а об деформации в упругой стадии, т.е. без возникновения пластических деформаций, и при одинаковой нагрузке.
Преобразуем закон Гука, заменив из уравнения (3.3):
Подставим значение
из формулы (1):
(4)
Мы получили формулу
для абсолютного удлинения (укорочения)
стержня. При растяжении
положительная, при сжатии
отрицательная. Произведение ЕА
называют жесткостью бруса.
При растяжении стержень становится тоньше, при сжатии толще. Изменение размеров поперечного сечения называется поперечной деформацией. Например, у прямоугольного сечения до нагружения были ширина b и высота сечения h , а после нагружения b 1 и h 1 . Относительная поперечная деформация для ширины сечения:
для высоты сечения:
У изотропных материалов свойства одинаковы во всех направлениях. Поэтому:
При растяжении поперечная деформация отрицательна, при сжатии положительна.
Отношение поперечной деформации к продольной называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:
(5)
Экспериментально
установлено, что в упругой стадии работы
любого материала значение
и постоянно. Оно лежит в пределах 0
0,5
и для конструкционных материалов дается
в таблицах справочника.
Из зависимости (5) можно получить следующую формулу:
(6)
При растяжении (сжатии) поперечные сечения бруса перемещаются в продольном направлении. Перемещение является следствием деформации, но эти два понятия нужно четко разграничивать. Для стержня (см. рис. 3) определим величину деформации и построим эпюру перемещений.
Рис. 3
Как видно из рисунка отрезок стержня АВ не растягивается, но перемещение получит, так как удлинится отрезок СВ. Его удлинение равно:
Перемещения
поперечных сечений обозначим через
.
В сечении С перемещение равно нулю. От
сечения С до сечения В перемещение равно
удлинению, т.е. возрастает пропорционально
до
в сечении В. Для сечений от В до А
перемещения одинаковы и равны
,
так как этот отрезок стержня не
деформируется.
3. Статически неопределимые задачи
Статически неопределимыми принято считать системы, усилия в которых нельзя определить с помощью только уравнений статики. Все статически неопределимые системы имеют "лишние" связи в виде дополнительных закреплений, стержней и других элементов. "Лишними" такие связи называют потому, что они не являются необходимыми с точки зрения обеспечения равновесия системы или ее геометрической неизменяемости, и их устройство преследует конструктивные или эксплуатационные цели.
Разность между количеством неизвестных и количеством независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы, характеризует число лишних неизвестных или степень статической неопределимости.
Статически неопределимые системы решают путем составления уравнений перемещения определенных точек, количество которых должно быть равно степени неопределимости системы.
Пусть на стержень, жестко заделанный обоими концами, действует сила F (см. рис. 4). Определим реакции опор.
Рис. 4
Реакции опор направим влево, так как сила F действует вправо. Поскольку вес силы действуют по одной линии можно составить лишь одно уравнение статического равновесия:
-B+F-C=0;
Итак, две неизвестные реакции опор В и С и одно уравнение статического равновесия. Система один раз статически неопределимая. Следовательно, для ее решения нужно составить одно дополнительное уравнение, основанное на перемещениях точки С. Мысленно отбросим правую опору. От силы F левая часть стержня ВД будет растягиваться и сечение С сместится вправо на величину этой деформации:
От реакции опоры С стержень будет сжиматься и сечение переместится влево на величину деформации всего стержня:
Опора не позволяет сечению С перемещаться ни влево, ни вправо, поэтому сумма перемещений от сил F и С должна равняться нулю:
|
Подставив значение С в уравнение статического равновесия, определим вторую реакцию опоры:
4. Температурные напряжения
В статически
неопределимых системах при изменении
температуры могут возникать напряжения.
Пусть стержень, жестко заделанный с
двух концов нагревается на температуру
град. (см. рис. 5).
Рис. 5
При нагревании тела расширяются, и стержень будет стремиться удлиниться на величину:
где
коэффициент линейного расширения,
l первоначальная длина.
Опоры не дают возможности стержню удлиниться, поэтому стержень сжимается на величину:
Согласно формуле (4):
=
;
поскольку:
(7)
Как видно из формулы (7) температурные напряжения не зависят от длины стержня, а зависят лишь от коэффициента линейного расширения, модуля продольной упругости и изменения температуры.
Температурные напряжения могут достигать больших значений. Для их уменьшения в конструкциях предусматриваются специальные температурные зазоры (например, зазоры в стыках рельсов) или компенсационные устройства (например, колена в трубопроводах).
5. Монтажные напряжения
Элементы конструкции могут иметь отклонения в размерах при изготовлении (например, из-за сварки). При сборке размеры не совпадают (например, отверстия под болты), и прикладываются усилия, чтобы собрать узлы. В результате в элементах конструкции возникают внутренние усилия без приложения внешней нагрузки.
Пусть между двух жестких заделок вставлен стержень, длина которого на величину а больше расстояния между опорами (см. рис. 6). Стержень будет испытывать сжатие. Определим напряжения, используя формулу (4):
(8)
Рис. 6
Как видно из формулы
(8) монтажные напряжения прямо
пропорциональны погрешности в размерах
а
.
Поэтому желательно иметь а=0
,
особенно для стержней небольшой длины,
так как
обратно пропорционально длине.
Однако в статически неопределимых системах к монтажным напряжениям специально прибегают, чтобы повысить несущую способность конструкции.
