В настоящее время одним из инновационных подходов в управлении школой, позволяющий эффективно использовать имеющиеся в системе образования ресурсы и успешно противостоять негативным внешним и внутренним факторам, является кластерный подход. Подтверждением этого положения является и опыт других исследователей кластерного подхода .
1. Семыкина Е.Н., Блохин В.В. Концепция инновационной ядерной сетевой экспериментальной площадки «Жизнедеятельность образовательного учреждения для гражданско-нравст-венного и эстетического становления личности школьников в рамках единого образовательного комплекса (кластера)». М., 2008.
2. Шамова Т.И. Возможности применения кластерной организационной технологии в образовании // Очерки системной педагогики / под ред. Р. А. Лачашвили. М., 2008. С. 231-238.
3. Шамова Т.И. Кластерный подход к развитию образовательных систем // Взаимодействия образовательных учреждений и институтов социума в обеспечении эффективности, доступности и качества образования региона / отв. ред. Т.М. Давыденко, Т.И. Шамова. Белгород, 2006. Ч. I. С. 24-29.
4. Семыкина Е.Н. Интеграционные гуманитарные технологии для гражданско-нравственного становления личности школьника // Методика духовно-нравственного воспитания детей в учреждениях общего и дополнительного образования / под ред. И.П. Воропаевой, Г.Ф. Гаврилычевой. М., 2007. С. 173-192.
5. Игнатова И., Екимова Н. Кластерный подход в управлении учреждением образования // Народное образование. 2009. № 8. С. 62-66.
6. Взаимодействие школы и социальных партнеров: кластерный подход. Белгород, 2008.
Поступила в редакцию 11.11.2009 г.
Semykina E.N. Cluster approach as the administrative resource in education and up-bringing.
Between 2005 and 2009 we have been perfecting and still continue to work on improvements of the conceptual and practical aspects of an educational model “Vital activity of the educational Institution for civil-moral and aesthetic up-bringing of the schoolchild’s personality within the limits of a uniform educational complex (cluster)”. Contribution attributable to this model is the implementation of the cluster approach to the educational environment. The cluster approach ensures concentration of management efforts of specific educational establishments on solving personality formation issues.
Key words: cluster approach; cluster; civil-moral formation of the schoolchild’s personality.
УДК 373.1.02:372.8
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ: ПСИХОЛОГО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ ДИСКУРС
© М.А. Мацыгин
Статья посвящена преимуществам арифметического способа решения задач в 5-6 классах средней общеобразовательной школы. Такой способ решения задач развивает интеллектуальные способности школьников в большей степени, чем алгебраический способ решения задач.
Ключевые слова: арифметический способ решения задач; алгебраический способ решения задач; текстовые задачи; интеллектуальные способности; логическое мышление.
Одной из основных тенденций развития отечественной образовательной системы является развивающий характер образования, под которым понимается переход от процесса усвоения знаний, умений и навыков к процессу развития способностей, самостоятельности ребенка. Сегодня приоритет развития «способностей к самоопределению личности, создание условий для ее самореализации» стал нормой Закона об образова-
нии, т. е. нормой деятельности каждого учителя . При этом самостоятельная деятельность ребенка, рассматриваемая как основной фактор его развития, обусловливается развитостью его мышления, уровнем развития его познавательных способностей. Самым значительным потенциалом для развития мышления, интеллектуальных способностей среди школьных предметов, несомненно, обладает математика. В этом состоит ее
универсальный характер и этим же обусловлено ее проникновение в другие школьные предметы. Важнейшим же средством развития математической культуры, математического мышления являются текстовые задачи.
Значение текстовых задач не исчерпывается возможностью применять полученные знания в своей практической деятельности. В процессе решения задач у детей развиваются способности не только математические, но и общие, интеллектуальные, которые, в свою очередь, необходимы для развития личности ребенка в целом, способствуя успеваемости детей почти по всем школьным предметам. Поэтому очень важно, чтобы учащиеся имели глубокие представления о текстовой задаче и ее решении различными способами.
Наиболее распространенный вид текстовых задач определяется как описание на естественном языке некоторой ситуации (ситуаций) с требованием выявить количественную характеристику определенного компонента этой ситуации. Основными способами решения таких задач являются арифметический и алгебраический.
Арифметический способ решения заключается в нахождении ответа задачи путем арифметических действий над числами.
Алгебраический способ состоит в получении ответа на вопрос задачи с помощью составления уравнения и последующего его решения.
Арифметический способ решения задач долгое время являлся доминирующим в отечественной средней школе, вплоть до конца 60-х гг. XX в. Этому способствовала богатая историческая традиция использования в обучении задач практического характера. С давних времен обучение решению арифметических задач сводилась к усвоению правил. Например, в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703), являющейся первым отечественным печатным учебником по математике, давались арифметические задачи на строго определенные правила, которые имели соответствующие названия «тройное», «пятерное», «семиричное» и т. д. Это объясняется строго практической необходимостью выполнения торговых расчетов. Деятельность учащихся сводилась к усвоению стандартно -го набора правил решения определенных типов задач, причем понимание учащимися механизма решения совершенно не являлось
необходимым. И.В. Арнольд так описывает ситуацию в образовании в своей статье, вышедшей в 1946 г.: «Учеников - в том или ином порядке - знакомят с соответствующими «типами» задач, причем обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае» .
Несмотря на указанные недостатки в обучении, к середине XX столетия в отечественном образовании методика использования арифметических задач была хорошо проработана, задачи были систематизированы. Однако при проведении реформы математического образования конца 1960-х гг., предпочтение все-таки получил алгебраический метод решения задач. Этому способствовало также то, что арифметические задачи многими считались недостаточно связанными с жизненной практикой того времени. Кроме этого, преобладало мнение, что обучение решению задач арифметическим методом нецелесообразно и мешает овладению алгебраическим методом. В частности, Г.П. Щед-ровицкий в начале 1960-х гг. пишет: «... арифметические приемы есть анахронизм, искусственные, крайне замысловатые способы, выработанные еще до того, как появилась алгебра с ее простым аппаратом. Но зачем тогда мы детям забиваем головы этими ненужными приемами и отнимаем время и силы в течение стольких лет?» .
В результате реформы математического образования, как отмечает А. В. Шевкин, арифметический способ решения задач был в значительной степени вытеснен алгебраическим: «. роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе в последующие годы была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы их решения... «метод уравнений» на долгое время стал единственным известным учащимся методом решения текстовых задач» .
В настоящее время арифметический способ используется в школе лишь для решения несложных задач в начальном курсе математики, вплоть до 5-6-х классов, в которых происходит переход к алгебраическому способу: единственному, изучаемому в курсе
алгебры. Однако такая практика не является в полной мере научно обоснованной и экспериментально подтвержденной в психологопедагогических исследованиях. К тому же в настоящее время среди исследователей не существует единого мнения по вопросам соотношения в школьном обучении арифметического и алгебраического методов и их роли в развитии мышления учащихся.
Исследователи Б.В. Гнеденко, М.А. Лаврентьев, А.И. Маркушевич и другие считали, что тратится слишком много времени на решение арифметических задач, которые, по их мнению, должны решаться алгебраическими методами. Сегодня, как и в 1960-е гг., методистами отстаивается тезис о том, что арифметические методы требуют от учащихся и учителей слишком много напрасных усилий.
Так, в последние годы появились психо-лого-педагогические исследования, в которых утверждается возможность введения буквенной символики «в дочисловом периоде» (В.В. Давыдов), а также предлагается практика обучения алгебраическому способу решения задач без предварительного изучения арифметического способа (Ф.Г. Боданский).
Другая часть исследователей (И.К. Андронов, И.П. Богуславский, А.Н. Левин,
М.В. Потоцкий, А.С. Пчелко и др.) разделяли иную точку зрения. Арифметический способ решения задач ими признавался первостепенным в развитии мышления и, соответственно, в успешном овладении курсом математики. Это согласуется с современным утверждением о том, что арифметические способы решения не только простых, но и достаточно сложных задач должны предшествовать использованию алгебраического метода. Исследователи Н.А. Менчинская, М.И. Моро, А.В. Скрипченко считают, что именно арифметический способ приучает учащихся к анализу, синтезу, упражняет в нахождении математических зависимостей. Ими подчеркивается значение арифметического способа для лучшего понимания задачи и процесса нахождения ее решения, а также роль арифметических задач в развитии общеинтеллектуальных способностей.
В связи с этим Н.Ф. Талызина отмечает, что «формирование уже самых начальных знаний должно быть организовано так, чтобы это было одновременно и формированием мышления, определенных умственных спо-
собностей учащихся» . При решении
арифметических задач, по мнению исследователя, формируются такие познавательные умения, которые выходят за рамки изучаемого предмета - математики, но тем не менее обеспечивают успех в его овладении.
Проблема разработки оптимальных методик использования алгебраического и арифметического способов потребовала рассмотрения особенностей умственной деятельности учащихся в процессе решения текстовых задач, что нашло свое отражение в исследованиях Н.А. Менчинской, Л.Я. Юр-цевой и др.
Умственная деятельность в процессе арифметического и алгебраического решения задач, по мнению этих исследователей, связана с особенностями этих способов, а именно с использованием различного математического языка. В зависимости от выбора соответствующего способа изменяются возможности переработки и преобразования заключенной в условии исходной информации.
Так, алгебраический способ позволяет с помощью буквенных символов обозначить выбранное неизвестное, записать предписываемые задачей операции в виде уравнения и построить процесс преобразования исходных данных задачи в виде алгоритмического преобразования алгебраических выражений. В процессе решения не рассматривается смысловое значение промежуточных алгебраических выражений. Поэтому, используя алгебраический способ, возможно решить задачу, ограничиваясь осмысливанием только исходных данных и конечного результата.
В процессе решения учащемуся не нужно удерживать в сознании обозначенное буквой неизвестное. Нет необходимости также в нахождении смысла получаемого на каждом шаге преобразований уравнения. Решение алгебраическим способом может быть найдено на разных, в т. ч. и ранних, этапах анализа условия задачи, при этом синтез данных в процессе алгебраического решения основывается на исходных зависимостях между величинами и не опирается на глубокий и всесторонний анализ связей.
Арифметический способ требует осмысления всех арифметических действий на каждом шаге решения, соотнесение каждого шага решения с искомым и с описанной в задаче проблемной ситуацией в целом. При
этом процесс решения требует высокого уровня анализа, в процессе которого исходные данные включаются в новые связи, благодаря чему выявляются новые по сравнению с исходной формулировкой сведения о значении величин и отношениях между ними. Синтез в процессе арифметического решения задач имеет эвристический, поисковый характер, приводит к постоянному исследованию зависимостей между исходными данными и получаемыми на промежуточных этапах решениями. В арифметическом способе синтез данных опирается на выявление новых связей, т. е. постоянный процесс переформулирования условия задачи.
Указанные психологические особенности решения алгебраическим и арифметическим способом были подтверждены в исследовании Л.Я. Юрцевой . Было установлено, что в процессе алгебраического решения задач реальная ситуация может представляться без достаточно отчетливого вычленения математических соотношений. Поэтому, даже после успешного алгебраического решения эти соотношения рассматривались вне связи с проведенными операциями или искажались.
При решении задачи арифметическим методом осмысливание всех преобразований, соотнесение каждого шага с проблемной ситуацией в целом приводит к более полному ее представлению, пониманию. В процессе решения выделяются важнейшие стороны этой ситуации - математические соотношения. По этой причине даже безуспешные попытки арифметического решения задачи повышают уровень анализа и синтеза. Более высокий уровень анализа подтверждает дополнительный анализ задачи, который часто проводят учащиеся после успешного алгебраического решения в связи с переходом к арифметическому способу решению этой же задачи.
Таким образом, сложность арифметического способа решения связана с высоким уровнем анализа и синтеза, который необходим для успешного решения задачи этим способом. Поэтому решение сложных задач арифметическим способом более доступно учащимся старших классов, а в рамках каждого класса - учащимся с повышенным уровнем математической подготовки.
Алгебраический способ решения задач доступен различным категориям учащихся, в т. ч. и с невысоким уровнем математической подготовки. Однако те акты мышления, которые при этом совершают учащиеся, могут только внешне совпадать с деятельностью математически развитого человека, соответствуя в то же время той ступени развития, на которой находится ученик.
Доступность алгебраического способа решения задач объясняется возможностью успешного их решения этим способом при различных уровнях анализа и синтеза (в т. ч. и при низком). Однако эта доступность имеет свою отрицательную сторону, поскольку не стимулирует перехода к более высоким уровням интеллектуальной деятельности, позволяя слабым в математике учащимся создавать видимость достаточно высокого уровня математического мышления.
Именно поэтому при использовании алгебраического способа решения задач в школе необходимо дополнять деятельность учащихся теми ее видами, которые упражняют в более сложных формах анализа и синтеза, которые используются при арифметическом решении задач.
Арифметический и алгебраический способы решения задач играют различную роль в умственной деятельности учащихся. Использование алгебраического способа не компенсирует тех качеств мышления, которые формируются арифметическим способом решения задач. Необходимо отметить также нестандартность арифметической логики решения задач, в ходе решения которых у учащихся развиваются способности к эвристическому, креативному мышлению.
Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что сочетание алгебраического и арифметического способов решения задач при обучении математике в школе предположительно будет способствовать развитию интеллектуальных способностей учащихся. При этом не следует ограничивать решение задач арифметическим способом младшими классами, в которых используются сравнительно простые текстовые задачи. Более сложные задачи, которые решаются в старших классах традиционно алгебраическим методом, также в большинстве случаев могут быть успешно решены и арифметическим методом. Решение одной и той же зада-
чи арифметическим и алгебраическим методами позволяет найти наиболее рациональное из них в каждом конкретном случае.
Использование арифметических способов решения задач наряду с алгебраическим способствует общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышает эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Нельзя забывать и о том, что в процессе решения задач различными способами формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ, проверкой полученного результата. К концу периода обучения в школе выпускник должен иметь в своем арсенале различные способы решения задач, а также практический опыт нахождения решения задачи нестандартными способами.
Можно предположить, что наибольшими перспективами для исследования роли арифметического и алгебраического методов решения задач в формировании интеллектуальных способностей учащихся являются 5-6 классы, в которых по существующей программе и происходит переход от арифметического к алгебраическому способу. При этом можно попытаться повысить умственные способности учащихся путем изменения практики текстовых задач в этих классах, внедрив в школьную программу по математике небольшой комплекс арифметических задач. Дореволюционные учебники дают нам благодатный материал для разработки системы арифметических задач, направленных на развитие интеллектуальных способностей школьников. Задачи, решаемые методом фальшивого правила, тройного правила и другие будут, кроме того, и интересны школьникам. В этом плане представляют интерес идеи таких дореволюционных методистов, как, например, Д. Д. Галанина. Как утверждают О.А. Саввина и О.А. Коломникова: «Психологические основы обучения математике, развивающее обучение, деятельностный подход и лабораторные работы в начальной школе - все эти внешне злободневные сюжеты уже сто лет назад являлись предметом глубочайших изысканий педаго-
га-исследователя начала ХХ в. Дмитрия Дмитриевича Галанина» . Используя адаптированные к современным условиям арифметические задачи, использовавшиеся на протяжении веков в отечественной средней школе, и опираясь на методические разработки, внедренные еще в начале - середине прошлого века, мы тем самым попытаемся добиться не только обогащения мыслительной деятельности учащихся, но и развития интеллектуальных способностей в процессе освоения культурно-исторического наследия человечества в целом и русской научной культуры в частности, связанных с поиском решения задач.
В качестве примеров приведем две арифметические задачи, подходящие для изучения в 5-6 классах.
Методику решения первой задачи, использовавшейся при обучении математики еще в древнем Китае, приводит А.В. Шевкин:
«В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов» .
А.В. Шевкин отмечает, что, естественно. эта задача успешно может быть решена алгебраическим путем, например, составив уравнение:
4х + 2 ■ (35 - х) = 94, где х - число кроликов, и решив его.
Однако если при решении этой задачи, мы зададимся целью не просто получить правильный ответ, но и развивать мышление, воображение у детей, то в этом случае целесообразно применить следующую методику арифметического решения этой задачи.
Учитель предлагает ученикам вообразить, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, положили морковку. При этом все кролики в клетке встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Отсюда вопрос: сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
Дети легко замечают, что остальные ноги не посчитаны (это передние лапы кроликов). Вычисление их количества не представляет сложности: 94 - 70 = 24 ноги.
Представляет интерес тот факт, что аналогичная задача приводится в учебнике математики для 5 классов И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича под номером 615 . Авторы, придерживающиеся системы развивающего обучения Л.В. Занкова, предлагают учащимся ознакомиться как с арифметическим способом ее решения (рассмотренным выше), так и с алгебраическим (решение уравнения с двумя неизвестными методом подбора).
Другая задача также представляет собой адаптированный вариант задачи из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (опубликованный в сборнике старинных задач С.Н. Олехника ): «Прохожий, идущий из одной деревни в другую, спросил у другого прохожего, долго ли ему осталось идти? Он получил ответ, что уже прошел треть расстояния между деревнями, а через 2 версты будет ровно половина пути. Сколько верст прохожему еще осталось пройти?»
Задача решается очень просто арифметическим путем, если учесть, что 2 версты -это разность 1/2 и 1/3 расстояния между деревнями. Отсюда получаем, что 2 версты это 1/6 всего расстояния, следовательно расстояние между деревнями 12 верст. Путник уже прошел треть, то есть 4 версты и осталось ему еще идти 8 верст. Для большей наглядности можно нарисовать схему.
В завершении сделаем несколько выводов из проделанного исследования об использовании арифметического и алгебраического методов решения текстовых задач в школьном курсе математики:
1) алгебраический способ решения задач представляет собой прежде всего удобный и эффективный инструмент решения большинства (но не всех) текстовых задач, способствующий развитию абстрактного мышления;
2) арифметический же метод ценен тем, что способствует пониманию условия задачи, процесса ее решения; развивает не только математическое мышление, но и общие интеллектуальные способности; развивает самостоятельность и креативность мышления;
3) в школьном курсе математики необходимо разумно сочетать оба метода решения задач, не ограничиваясь использованием арифметического способа младшими класса-
ми, а использовать его вместе с алгебраическим в средних и старших классах;
4) алгебраическому способу можно начинать учить и в начальной школе, но не следует позиционировать его как наилучший способ решения;
5) поскольку для многих задач существует несколько арифметических (и даже алгебраических) способов решений, то, по возможности, следует находить решение одной текстовой задачи не одним, а несколькими частными способами. Целесообразно выбирать из нескольких способов решения наиболее красивое - это позволит развивать у учащихся эстетические чувства применительно к математическим явлениям и повысит интерес к процессу решения текстовых задач;
6) исходя из требований существующей школьной программы по математике, можно предположить, что сейчас наибольшими перспективами для исследования роли арифметического и алгебраического методов решения задач в формировании интеллектуальных способностей учащихся являются 5-6 классы, в которых по существующей программе и происходит переход от арифметического к алгебраическому способу. Это можно сделать путем введения небольшого комплекса арифметических задач, которые будут применять учителя 5-6 классов.
1. Об образовании: федеральный закон РФ. М., 1999. С. 9.
2. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач / Вопросы методики математики. Известия АПН РСФСР. М., 1946. Вып. 6. С. 7-28.
3. Щедровицкий Г. П. Технология мышления // Некоммерческий научный Фонд «Институт развития им. Г.П. Щедровицкого». 2008. иКЬ: http://www.fondgp.rU/gp/biblio/rus/7 (дата обращения: 24.08.2009).
4. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики // Роль текстовых задач в школьном курсе математики. М., 2006. С. 12-14.
5. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. М., 1998. С. 50.
6. Юрцева Л.Я. Особенности умственной деятельности учащихся в процессе решения задач алгебраическим и арифметическим способами: автореф. дис. ... канд. пед. наук. М., 1971. С. 1-6.
7. Саввина О.А., Коломникова О.А. Методические идеи Д. Д. Галанина (к 150-летию со дня
рождения) // Начальная школа. 2007. № 10. С. 106-112.
8. Зубарева Н.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл. М., 2005. С. 170-171.
9. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М. К. Старинные занимательные задачи. М., 1988. С. 15-16.
Поступила в редакцию 6.11.2009 г.
Matsygin M.A. Arithmetic and algebraic ways of the exercise solution: psychological-didactic discourse.
The article is devoted to advantages of an arithmetic way of the exercise solution in 5-6 grades of an average comprehensive school. Such way of the exercise solution develops mental abilities of schoolboys more than an algebraic way of the exercise solution.
Key words: arithmetic way of the exercise solution; algebraic way of the exercise solution; textual exercises; mental abilities; logic thinking.
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА В ИНТЕГРИРОВАННОМ ОБУЧЕНИИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
© Л.З. Цветанова-Чурукова
Статья посвящена определению видов и функций систематизации учебного материала в интегрированном процессе обучения младших школьников. На основе опытно-экспериментальной работы намечены перспективы совершенствования знаний учащихся начальных классов.
Ключевые слова: систематизация; интеграция; дифференциация; обучение; учебный материал; экспертные оценки.
Процесс формирования системы знаний и алгоритмических моделей у младших школьников, который в педагогике принято называть систематизацией, до конца не изучен . Под систематизацией мы понимаем рациональную обработку учебного материала, связанную с объединением изучаемых объектов в систему. Благодаря систематизации вновь усвоенные знания формируются в понятийный аппарат личности, интегрируются в хорошо структурированную гносеологическую целостность. Происходит иерар-хизация учебного материала, т. е. формируется ядро знаний, которое включает главные, ключевые фрагменты учебного содержания, на фоне того, что является второстепенным и несущественным.
Необходимая предпосылка для полноценного усвоения знаний учениками - это оперирование ими, различное их вариативное использование посредством многообразных интеллектуальных и практических действий. Следовательно, за системой знаний стоит система логических действий, посредством которых можно реконструировать содержание учебного материала и достичь его более совершенной организации. В этом смысле мы не в состоянии оторвать содержа-
тельную сторону от операционной стороны процесса овладения знаниями.
Систематизация выполняет функцию обобщения, осуществляет высший синтез знаний и является переходом к более глубокому пониманию материала как некой целостности, состоящей из структурных частей. При систематизации опыта, накопленного личностью, осуществляется его индуктивное и дедуктивное редуцирование. Так можно реализовать сложные познавательные взаи-мопереходы - системно-дифференцирующие и системно-интегрирующие.
При системно-дифференцирующем подходе основная операция - декомпозиция. Посредством этой операции систему как целое можно разделить на подсистемы, на части, на виды. При системно-интегрирующем подходе движение осуществляется в противоположном направлении - от отдельных элементов к композиции системы как некоего целого. Ведущей здесь является операция композиции .
В процессе систематизации знаний осуществляется своеобразное формирование системы учебных моделей, представляющих обобщенную копию действительности. Уровень абстрактно-логической деятельности по сравнению с первыми двумя этапами процес-
Арифметический способ решения текстовых задач«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».
А.В.Шевкин
Умение решать текстовые задачи – один из основных показателей математического развития учащихся, глубины усвоения ими учебного материала, четкости в рассуждениях, понимания логических аспектов различных вопросов.
Текстовые задачи для большинства школьников – трудный, а поэтому нелюбимый учебный материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как задачи способствуют развитию прежде всего логического мышления, пространственного воображения, практического применения математических знаний в деятельности человека.
В процессе решения задач учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики в решении реальных жизненных задач. Решение текстовых задач развивает логическую культуру, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.
Традиционная российская школа всегда уделяла особое внимание обучению детей решению текстовых задач. Исторически сложилось так, что достаточно долгое время математические знания из поколения в поколение передавались в виде текстовых задач с решениями. Значимость их заключалась еще в прикладном значении, так как по своему содержанию это были задачи практической направленности (расчеты банковские, торговые, земельные и др.). Образованным в России считался тот, кто умел решать эти типовые задачи, очень важные в повседневной жизни.
Необходимо отметить, что бучение решению практических задач давалось нелегко. Часто наблюдалось заучивание наизусть способа решения без осознанного понимания условия. Главное – определить тип задачи и найти правило для ее решения, понимание было не важно.
К середине XX века была разработана хорошая методика обучению решению задач. Но, к сожалению, часто наблюдалось со стороны преподавателей натаскивание учащихся на решение типовых задач, запоминание стандартных приемов. Но невозможно научиться решать задачи по заученной схеме.
В конце 60-х годов реформа школьного математического образования предполагала раннее введение уравнений с целью по-новому организовать обучение решению задач. Однако, роль алгебраического способа решения текстовых задач в 5-6 классах была преувеличена именно потому, что из школьной программы были удалены арифметические способы. И практика доказала, что без достаточной подготовки мышления учащихся решать задачи с помощью уравнений нецелесообразно. Ученик должен уметь рассуждать, представлять действия, которые происходят с предметами.
В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять достаточно внимания и не торопиться переходить к алгебраическому способу – решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, к чему они приводят. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе. Только над этим вряд ли задумывается ученик.
Очень часто мы наблюдаем, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводим абстрактную переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что необходимо учитывать возрастные особенности детей, у которых на этот момент развито наглядно-образное мышление. Абстрактные модели им пока не под силу
Что же мы понимаем под требованием – решить задачу. Это значит найти такую последовательность действий, которая в результате анализа условия приведет к ответу на поставленный в задаче вопрос. Чтобы прийти к ответу, нужно проделать серьезный путь, начиная с момента понимания текста, уметь выделять главное, «перевести» задачу на язык математики, заменяя слова «скорее», «медленнее» на «меньше» или «больше», составлять графическую модель или таблицу, облегчающие понимание условия задачи, сопоставлять величины, устанавливая логические отношения между данными по условию и искомыми. И дается это детям очень нелегко.
Важно отметить, что текст задач должен составляться таким образом, чтобы ребенок понимал и представлял, о чем идет речь. Зачастую, прежде чем приступить к решению задачи, затрачивается много времени на разбор условия, когда учащимся приходится объяснять, что такое чугунная болванка, чем она отличается от детали, а также железобетонная опора, станок-автомат, жилая площадь и т.д. Текст задачи должен соответствовать уровню его восприятия. Конечно же, текст задачи необходимо приблизить к реальной жизни, чтобы можно было увидеть практическое применение данной модели.
Приступая к решению задачи необходимо не только представить ситуацию, о которой идет речь, но и изобразить ее на рисунке, схеме, в виде таблицы. Невозможно качественно решить задачу без составления краткой записи условия. Именно схематичное составление условия позволяет при обсуждении решения выявить все действия, которые необходимо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи.
Рассмотрим некоторые примеры решения текстовых задач
Задачи на движение
Данный тип задач широко распространен в школьном курсе математики. В них рассматриваются разные виды движения: навстречу, в противоположных направлениях, в одном направлении (один догоняет другого).
Для понимания этих задач удобно изобразить схему. Но, если учащийся составляет таблицу, не нужно переубеждать его в том, что данный способ краткой записи условия не очень хорош. Мы по-разному воспринимаем информацию. Может, ребенок в таком отображении лучше «видит» задачу.
Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?
Составим схему к задаче, которая достаточно полно отражает условие (указаны направления движения, скорости велосипедистов, время в пути до встречи, ясен вопрос):
Рассмотрим два способа решения этой задачи:
1 способ:
Традиционно мы любим решать эти задачи, вводя понятие «скорость сближения», и находим ее как сумму (или разность) скоростей участников движения. При движении навстречу друг другу – скорости складываем:
1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения
Зная, что время движения одинаково, второе действие позволяет по формуле пути (S = vt ) рассчитать искомое расстояние и ответить на поставленный в задаче вопрос.
2) 26 3 = 78 (км)
Составим выражение:
3(12 + 14) = 78(км)
Ответ : 78 км.
Но не все дети понимают, что это за абстрактная величина – скорость сближения. Почему можно складывать, а в других случаях вычитать скорости двух различных участников движения, объединяя их общим названием. Если ваши ученики решают эту задачу другим способом, не старайтесь их перетянуть на свою сторону. Для кого-то еще не настало время это понять, а кому-то первый способ вообще никогда не будет доступным.
2 способ:
1)12 3 = 36 (км) – путь первого велосипедиста до встречи
2)14 3 = 42 (км) – путь второго велосипедиста до встречи
3)36 + 42 = 78 (км) – расстояние между посёлками
Составим выражение:
12 3 + 14 3 = 78 (км)
Ответ : 78 км.
Постепенно, когда ребенок научится понимать такие задачи, сравнивая числовые выражения, можно показать, что оба способа взаимосвязаны, а заодно вспомнить распределительное свойство умножения:
12 3 + 14 3 = 3(12 + 14) = 78
Пример 2. В двух пачках было 54 тетради. Когда из первой пачки убрали 10 тетрадей, а из второй - 14 тетрадей, то в обеих пачках стало тетрадей поровну. Сколько было тетрадей в каждой пачке первоначально?
Как можно отобразить условие?
1.Составить таблицу:
БылоУбрали
Стало
1 пачка - ? 54 тет.
2 пачка – ?
10 тет.
14 тет.
поровну
2. Сделать рисунок
Забрали 14 шт.
Забрали 10 шт.
Поровну
Всего 54 шт.
Проанализируем решение задачи, обращая внимание на то, на какие вопросы мы даем ответы, выполняя каждое арифметическое действие:
1) Сколько всего тетрадей убрали из обеих пачек?
10 + 14 = 24 (шт.);
2) Сколько стало тетрадей в двух пачках?
– 24 = 30 (шт.);
3) Сколько стало в каждой пачке тетрадей?
30: 2 = 15 (шт.);
4) Сколько было тетрадей в первой пачке первоначально?
10 = 25 (шт.);
5) Сколько было тетрадей во второй пачке первоначально?
54 – 25 = 29 (шт.).
В 5 классе, вероятнее всего, ученик выберет именно такой способ решения задачи. А предложите ему решить эту задачу в 6 ил 7 классе. Возможно, ситуация изменится, и ученик будет решать ее с помощью уравнения. Выполняя те же действия, он не будет задумываться над многочисленными вопросами. Выбирая уравнение как средство решения задачи, очень быстро придет к тому же ответу.
Как же тогда будет выглядеть решение?
Пусть х тетрадей стало в каждой пачке после перекладывания,
тогда (х + 10) тетрадей было первоначально в первой пачке, а
(х + 14) тетрадей было первоначально во второй пачке.
Зная, что в двух пачках было 54 тетради, можно составить уравнение:
х + 10 + х + 14 = 54
В уравнении прослеживаются все те же действия, которые выполняются при арифметическом способе решения задачи.
х + х + (10 + 14) = 54; (1 действие арифметического способа)
2х = 54 – 24; (2 действие)
х = 30:2; (3 действие)
15 + 10 = 25 (шт.) (4 действие)
15 + 14 = 29 (шт.) (5 действие)
Ответ: 25 тетрадей, 29 тетрадей.
Но при этом никто не задает вопросов, что мы находим при выполнении каждого шага.
Своим ученикам я всегда показываю, что текст задач для 5-х или 9-х классов зачастую одинаков по смыслу. И практика показывает, что пятиклассники в состоянии разобраться с условием из задачника для 9 класса и даже составить уравнение. Решить такое уравнение, конечно же, пока не хватает знаний. Но при этом не каждому девятикласснику удается решить арифметическим способом задачу для 5 класса.
Школьники, обычно, выбирают алгебраический способ решения текстовых задач, к арифметическому они практически никогда не возвращаются. Они просто перестают видеть этот способ, увлекаясь введением переменных и составлением уравнений.
За что же мы ценим арифметический способ решения текстовых задач? Первое и главное за то, что при выполнении каждого арифметического действия учащийся задумывается над тем: «А что я нашел в результате?» Он представляет, о чем идет речь в задаче, так как каждое действие имеет наглядное и конкретное истолкование. В результате активно развивается логическое мышление. В процессе вычислений, измерений, поиска решения задач у ученика формируются познавательные универсальные учебные действия, формирование которых является важнейшей задачей современной системы основного общего образования.
Текстовые задачи изучаются в течение всего школьного курса математики. Но научить понимать задачи, анализировать условие, рассуждать и находить рациональные способы решения необходимо именно в 5-6 классах, пока уровень сложности их невелик, а сама задача является одной из самых важных категорий. На легком постигается сложное.
Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.
Арифметические способы решения текстовых задач позволяют строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения и навыки.
Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.
Великий Д.Пойа сказал: “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”. Если мы научим детей решать задачи - мы не только повысим интерес к самому предмету, окажем значительное влияние на формирование их математического мышления, что способствует успешному освоению новых знаний в других областях.
Департамент образования
Государственное учреждение Ярославской области
«Центр оценки и контроля качества образования»
«Арифметические способы
решения текстовых задач
по математике в 5-6 классах»
Методическая разработка
Ореховой Елены Юрьевны,
учителя математики
МОУ Крюковской ООШ
Мышкинского МО
Ярославской области.
Научный руководитель:
кандидат педагогических наук,
Ярославль, 2006
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………….
ГЛАВА І Текстовые задачи и их типология…………………………… ..
1.1. Определение текстовой задачи………………………………………..
1.2 Роль текстовых задач в школьном курсе математики……………….
1.3. Различные подходы к классификации текстовых задач…………….
1.4. Этапы решения текстовых задач……………………………………...
ГЛАВА ІІ Методика обучения учащихся решению текстовых задач арифметическим методом…………………………………………………..
2.1. Знания, умения учащихся по решению текстовых задач по
окончании начальной школы…………………………………………..
2.2. Планирование работы учителя по обучению учащихся решению
текстовых задач арифметическим способом…………………………
2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи…….
2.3.1 Организация работы учителя над условием задачи……………..
2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения…
2.3.3. Реализация плана решения……………………………………….
2.3.4. Анализ найденного решения и работа по поиску других
вариантов решения………………………………………………………….
2.4. Формирование приёмов решения задач «на процессы»……………..
2.4.1. Формирование понятия о времени протекания процесса………
2.4.2 Формирование понятий о скорости протекания процесса
и его продукте (результате)………………………………………
2.4.3. Формирование понятия совместного действия………………….
2.5. Составление задач учащимися…………………………………………
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………………..
ПРИЛОЖЕНИЕ ……………………………………………………………..
Введение.
В последние годы большие затруднения у детей на уроках математики вызывает задание: решите задачу. Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и как это делать? – вот вопросы, которые я затронула в этой работе.
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место. Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся на практике.
Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывающую определённое воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность, показывающую связь изучаемого с практикой.
С помощью задач формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему усвоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и других дисциплин.
Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счёт более раннего введения уравнений и функций, методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени. Но арифметические способы решения текстовых задач как раз и готовят ребёнка к овладению алгеброй. А когда это произойдёт, то алгебра доставит ученику более простые, чем арифметические, способы решения некоторых задач.
«Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Ещё два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики (конца 60-х годов) превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим.», - писал академик.
Тем не менее, в методической литературе мало внимания уделяется арифметическим методам решения задач, поэтому целью моей работы является разработка методических материалов обучения учащихся 5-6 классов решению текстовых задач арифметическим способом.
Для достижения этой цели передо мной встали следующие задачи:
Ø изучить психолого-педагогическую литературу по данной проблеме;
Ø познакомиться с опытом работы учителей математики, использующих арифметический метод решения текстовых задач и проанализировать свой опыт работы в этом направлении;
Ø обосновать необходимость обучения учащихся решению текстовых задач в 5-6 классах;
Ø показать преимущество арифметических способов решения текстовых задач;
Ø разработать и представить методику обучения решению текстовых задач;
Ø представить анализ результатов обучения с использованием данного метода.
Методическая разработка состоит из введения, двух глав, заключения, приложения. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, определяется цель работы и ставятся задачи. В 1-й главе даётся определение текстовой задачи, различные подходы к классификации задач, показана роль текстовых задач в курсе математики, а также раскрываются этапы решения задач арифметическим методом. Во 2-й главе даются методические рекомендации по обучению решению текстовых задач арифметическим методом; представляется работа учителя на каждом этапе решения задачи, более подробно раскрывается организация работы учителя по обучению решению задач «на процессы».
ГЛАВА І.
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ТИПОЛОГИЯ.
1.1. Определение текстовой задачи.
Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют. Что же такое задача?
С точки зрения любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.
Задачи, в которых зависимость между условием и требованием сформулирована словами, называются текстовыми. При этом главным отличием задачи от примера является не только наличие текста, но и наличие части условия или требования, выраженного на естественном (нематематическом) языке. По определению задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называются практическими (житейскими, текстовыми, сюжетными).
Под текстовой задачей я понимаю такую задачу, в которой речь идёт о реальных объектах, процессах, связях и отношениях. Реальные процессы – это движение, работа, наполнение и освобождение бассейнов, покупки, смеси, сплавы и др. Такой терминологии придерживается, кандидат педагогических наук, автор учебников и учебно-методических пособий по математике
1.2 . Роль текстовых задач в школьном курсе математики.
Можно кратко определить значение текстовых задач в школьном курсе математики. Работа над задачей:
Развивает логическое мышление;
Помогает осмысливать и закреплять вычислительные навыки;
Имеет большое жизненно-практическое и воспитательное значение.
так определяет роль текстовых задач в курсе математики:
1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.
2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.
3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учётом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью обратной задачи, то есть формулировать и развивать важные общеучебные умения.
4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям , позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом к изучаемому предмету.
5. Обучение и воспитание ребёнка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал.
Пока мы будем учить детей на русском языке – не только великом и могучем, но и достаточно трудном, пока мы хотим учить их сравнивать, выбирать наиболее простой путь достижения поставленной цели, пока мы не отказались от воспитания гибкости и критичности мышления, пока мы стараемся увязывать обучение математики с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике.
1.3. Различные подходы к классификации текстовых задач.
Существуют различные подходы к классификации текстовых задач. Можно говорить о типологии задач по методам решения: арифметический (по действиям или составлением выражения), алгебраический (составлением уравнения, системы уравнений или неравенств), геометрический (использование подобия, площадей фигур и т. п.). Но эта типология, как и любая другая, условна, так как одна и та же задача может быть решена и алгебраическим, и арифметическим методами.
К середине ХХ века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая: задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и др. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но её реализация на практике не была свободна от недостатков. Вот как описывал академик практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране в то время: «Учеников – в том или ином порядке - знакомят с соответствующими «типами» задач, причём обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приёмов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае… В итоге – полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач…» Но менять необходимо было не методику, а негодную практику её применения.
Анализируя содержание арифметических задач, связанных с различными процессами – работа, движение, расход энергии, наполнение и освобождение бассейнов и др. – можно увидеть в них ориентировку на три взаимосвязанные величины: скорость процесса, время его протекания и продукт (результат). Указанные величины составляют сущность всех названных задач.
В самом деле, сравним следующие задачи:
1) В одном колхозе для корма коров и лошадей заготовлено 2400 центнеров сена. На сколько дней хватит сена, если в день расходуется по 8 ц на коров и по 4 ц на лошадей?
2) Из двух городов, расстояние между которыми 760 км, одновременно отправляются навстречу друг другу два поезда, один со скоростью 50 км/ч, а другой со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
3) Двум слесарям, которые работают одновременно, дано задание изготовить 120 деталей. Через сколько времени это задание будет выполнено, если один слесарь изготовляет 7 деталей в час, а другой – 5 деталей в час?
4) Одновременно открыты три крана, каждый из них пропускает по 150 литров в час. Через сколько времени надо закрыть краны, если нужно набрать 1350 литров нефти?
Все 4 задачи различного предметного содержания, но имеют одинаковую математическую структуру. Во всех задачах требуется узнать время протекания какого-то процесса в ситуации совместного действия.
Таким образом, как писала в статье «Формирование общих приёмов решения арифметических задач»: «В основу типизации арифметических задач должны быть положены особенности отношений величин, представленных в условии задачи, а не сюжет.
Предварительный анализ показал, что задачи на «процессы» и задачи на «куплю-продажу» имеют идентичную систему отношений, что разница лишь в конкретно-предметном плане, что в данном случае не является существенным. Может быть найден способ анализа, позволяющий учащимся подходить к этим двум большим классам арифметических задач как к разновидностям одного и того же типа
С другой стороны, открывается возможность перенести рассмотренный приём в курс физики, где он успешно может быть применён не только при изучении движения, но и при определении давления, плотности, механической мощности и др.»
1.3 Этапы решения текстовых задач.
Под решением задачи будем понимать процесс, представляющий собой поиск необходимой последовательности действий на основе анализа условия и требования задачи, направленных на определение результата задачи; выполнение этих действий и получение результата, анализа и оценки последних.
В методике обучения математике выделены
4 основных этапа процесса решения задачи:
1) осмысление текста задачи и анализ её содержания;
2) осуществление поиска решения и составление плана решения;
3) реализация плана решения;
4) анализ найденного решения, поиск других способов решения.
При работе с текстовой задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявление величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи. Обычно говорят: «Сделать краткую запись». Для различных видов задач краткие записи могут быть разными. Это можно сделать в виде таблицы, отрезочных или столбчатых диаграмм, схематического чертежа, рисунков и т. д. Такая запись служит схематизации материала, даёт возможность одновременно видеть все связи между данными.
Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна являться математическая модель ситуации. Поиск способа решения может занимать по времени самое большое место в общем процессе решения. При этом довольно часто поиск способа решения приходится производить не один раз, когда в процессе выполнения найденного способа решения мы убеждаемся в его ошибочности или сложности. Очень важно каждый раз в случае неудачи поиска решения возвращаться к анализу условия задачи.
Составление плана решения производится двумя методами: аналитическим и синтетическим. Анализ способа решения удобно начинать с вопроса к задаче и производить его по схеме: чтобы узнать – надо знать… Такой метод является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Исходя из данных условия составляют первую простую задачу. Полученный при её решении результат и одна из величин основной задачи позволяют составить новую простую задачу; так поступают до тех пор, пока ответ на последнюю простую задачу не будет ответом на вопрос основной задачи.
В процессе поиска решения обычно одновременно используют и анализ и синтез, то есть аналитико-синтетический метод . При этом ученик должен уметь:
1) переводить отношения между величинами на язык равенств;
2) записывать зависимости между величинами с помощью формул известных процессов и выражать величины из формул.
Таблица 1.
Основные отношения и их перевод на язык равенств.
При арифметическом способе решения необходимо умение учеником найти в задаче три взаимосвязанные величины и по двум известным из них найти неизвестную.
Так успешное решение задач на «процессы» предполагает понимание отношений между величинами: скорость процесса (v) , время его протекания (t) и продукт или результат работы (s).
s=v t v=s:t t=s:v
Причём важно разбираться в отношениях между этими величинами как в условиях одного участника процесса, так и в условиях нескольких участников.
Третий этап работы с задачей предполагает решение построенной математической модели, интерпретацию результата решения математической модели в заданную ситуацию. Объяснение решения задачи может иметь такие формы:
1. Составление всего плана перед решением задачи и затем производство действий к каждому пункту плана.
2. Краткий вопрос и следующее за ним действие.
3. Краткое пояснение полученных результатов действий.
4. Производство всех действий с последующим подробным устным объяснением всего решения задачи.
5. Постановка полных вопросов с последующим решением.
На практике чаще всего используются первые три вида объяснения.
На четвёртом этапе работы с задачей необходимо выполнить проверку результата решения, сравнить результат с условиями задачи, проверить его на достоверность. На этом этапе можно предложить другие варианты решения. Поиск наиболее рационального способа решения будят мысль ученика, развивают сообразительность и уводят его от шаблона, повышая в то же время интерес к работе.
Наконец, если ученик научится внимательно, вдумчиво анализировать задачу, вдумчиво решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приёмы, с помощью которых были найдены решения, способы решения, то постепенно у него выработается умение решать любую задачу, пусть незнакомую. Известный математик, профессор Московского университета на вопрос «Что значит решить задачу?» дала короткий ответ: «Решить задачу – значит свести её к уже решённым.»
ГЛАВА ІІ
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ
ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ АРИФМЕТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ.
2.1. Знания, умения, навыки учащихся по решению текстовых задач по окончании начальной школы.
К началу 5-го класса учащиеся должны знать связи между такими величинами, как цена, количество, стоимость; время, скорость, путь при равномерном движении; уметь применять к решению текстовых задач знание изученных зависимостей. Таковы основные требования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся, обеспечивающие преемственную связь с курсом математики 5 класса , предъявляемые программой.
Основная цель обучения решению текстовых задач в начальной школе – осознанное усвоение детьми смысла арифметических действий , отношений «больше» - «меньше» (на несколько единиц и в несколько раз), «столько же» (или «равно»), взаимосвязи между компонентами и результатами действий, использованию действий вычитания (деления) для сравнения чисел.
Поэтому можно выделить следующие ключевые задачи, которые должны уметь решать выпускники начальной школы:
§ нахождение суммы величин, если эти величины известны с использованием сравнений «на…больше», «на…меньше», «в..раз больше», «в… раз меньше» в прямой и косвенной форме;
§ нахождение разницы между величинами с использованием действий вычитания и деления;
цена-количество-стоимость, норма расхода материала на 1 вещь-количество вещей-расход материала всего, скорость-время-расстояние;
§ нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости:
2.2. Планирование работы учителя по обучению решению текстовых задач арифметическим способом.
Несмотря на требования к знаниям, умениям учащихся, предъявляемые программой начальной школы, опыт моей работы показывает, что большинство учащихся начальной школы приходят в 5-й класс с небольшим багажом знаний и умений именно по решению текстовых задач. Поэтому основная цель моей работы на первых уроках математики в 5 классе во время повторения учебного материала – определить пробелы в знаниях и умениях учащихся, в том числе и по решению текстовых задач. Простейшие задачи в одно действие можно включить в тренировочные упражнения для устного счёта (см. приложение 1). При решении таких задач следует обращать внимание учащихся на те числовые данные, которые выражены не только числами, но и словами.
Иногда при анализе задач обнаруживается неумение некоторыми учащимися переводить на математический язык слова для сравнения величин. В таких случаях я пользуюсь таблицей, которую составляем вместе с учениками на первых уроках математики.
Таблица 2
Как было сказано выше, существуют различные подходы к определению типов задач. Несмотря на то, что любая классификация условна, обойтись без неё невозможно. В своей работе при планировании учебного материала и подготовке к урокам я выделяю некоторые так называемые ключевые задачи , приёмы решения которых должны освоить учащиеся 5 и 6 классов .
1. Задачи на процессы (на движение, на работу, на бассейны)
2. Задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме и разности; задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме (разности) и отношению.
3. Задачи на предположение.
4. Задачи на проценты.
5. Задачи на нахождение части от числа и числа по его части.
6. Задачи на пропорциональные зависимости.
Все эти задачи содержат новые приёмы решения. Поэтому требуется серьёзная подготовка к обучению.
В учебниках «Математика 5» и «Математика 6» автора, по которым я работаю, задачи разных видов «разбросаны», не систематизированы ни по сложности, ни по приёмам решения. Очевидно, для того, чтобы разрушить формирующиеся стереотипы решения, разнообразить способы деятельности учащихся. Но, на мой взгляд, при освоении нового приёма решения такого разнообразия лучше избегать и следовать «от простого к сложному». И только после того, как приём освоен и сформирован навык по его применению, его можно использовать и при решении составных задач разных видов.
Наиболее целенаправленно арифметический подход к решению текстовых задач раскрывается в учебниках «Арифметика 5», «Арифметика 6» и «Математика 5», «Математика 6» .
Поскольку я работаю по учебнику, который нацеливает учащихся на раннее введение уравнений и решение текстовых задач алгебраическим способом, то в тематическое планирование я внесла некоторые коррективы по использованию задачного материала (см. приложение 2).
2.3. Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи.
Как было сказано выше, работа над задачей включает 4 основных этапа. Причём все четыре этапа одинаково важны. Поэтому рассмотрим работу учителя и учащихся на каждом отдельном этапе при решении задач разных видов.
2.3.1 Организация работы учителя над условием задачи.
На первом этапе необходимо добиться того, чтобы учащиеся «приняли задачу», то есть поняли её смысл, сделав целью своей деятельности. С этой целью оформляется краткая запись. Для разных видов задач это можно сделать по-разному.
1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?
Краткую запись к данной задаче (и любой задаче на движение) удобно выполнить в виде схематического чертежа.
Графическая иллюстрация создаёт перед учениками пространственный образ, помогает в задачах на движение правильно расположить те неподвижные точки, с которыми условие связывает движущийся объект.
В задачах на нахождение двух или нескольких величин по их отношению и сумме (или разности), а также в задачах на части удобно краткую запись оформить в виде отрезков. Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).
Например:
2. За рубашку и галстук заплатили 40 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук?
3. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй, а всего 70 тетрадей. Сколько тетрадей было во второй пачке?
К этой задаче краткую запись можно выполнить в виде столбчатой диаграммы.
4. Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 9880 руб. Сколько стоит одно кресло, если один стул стоит 86 руб .
Оформить краткую запись можно с помощью таблицы:
|
Количество |
Стоимость |
||
5. В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли ещё 12 человек, а во вторую – 8 человек, то людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?
 |  |
Правильно составленная краткая запись указывает на сознательный анализ учеником условия и требования задачи и намечает план дальнейшего решения.
2.3.2. Организация работы учителя по составлению плана решения.
Чаще всего при организации поиска решения задачи применяется аналитико - синтетический метод.
Рассмотрим план рассуждений на примере задачи 1.
1. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа?
В задаче требуется узнать расстояние между поездами через 3 часа.
Что для этого надо знать?
S, которое прошёл 1-й поезд за 3 часа, и s, которое прошёл 2-й поезд за 3 часа.
Что необходимо знать для определения этих расстояний?
- скорость каждого поезда, а это в задаче известно.
План решения следующий:
1) находим s, которое прошёл 1-й поезд за 3 часа
2) находим s, которое прошёл 2-й поезд за 3 часа
3) находим общее расстояние.
Рассмотренный метод составления плана решения задачи является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Например, задача:
2. Молодой рабочий выполнил задание за 8 часов, изготовляя в час по 18 деталей. За сколько часов выполнит то же задание его наставник, если в час он делает на 6 деталей больше, чем молодой рабочий ?
Краткая запись
|
Количество деталей в час |
Время работы |
Всего деталей |
|
|
одинаковое |
|||
|
Наставник |
на 6 дет. больше - часть 1 |
§ 1 Способы решения текстовых задач
Существует несколько способов решения текстовых задач:
· арифметический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью чисели знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;
· алгебраический способ - это способ решения текстовой задачи с помощьювведения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;
· геометрический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;
· схематический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью схем;
· графический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.
Каждый из этих способов предполагает перевод условий задачи на язык математики. Это действие математики называют математическим моделированием. Результат этого действия называют математической моделью. При применении различных способов решения получаются различные математические модели. В арифметическом способе математической моделью является числовое выражение, то есть числовой пример с несколькими действиями, а конечный результат вычислений будет решением задачи. В алгебраическом способе математической моделью чаще всего является уравнение, а решение уравнения даёт решение задачи. В геометрическом способе математической моделью может выступать геометрическая фигура, а решение задачи - например, один из найденных элементов этой фигуры. В схематическом способе математической моделью является схема, с помощью которой находят решение задачи. В графическом способе математической моделью является график, построенный по условию задачи. При этом способе решением задачи могут быть координаты определённых точек графиков.
§ 2 Пример решения текстовой задачи арифметическим способом
В этом уроке более подробно рассмотрим арифметический способ решения задачи.
Решить задачу арифметическим способом - это значит найти ответ на главный вопрос задачи посредством выполнения арифметических действий над числовыми данными из условия задачи. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга количеством действий и последовательностью выполнения этих действий в процессе решения задачи.
Например. Рассмотрим следующую задачу. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал в 2 раза меньше грибов, чем Саша, Витя - на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?
Помогает определить правильный ход логических рассуждений краткая запись условий задачи в форме таблицы.
Решим эту задачу по действиям или так называемым способом решения задач по вопросам. Для начала ответим на первый вопрос «Сколько грибов собрал Коля?».
По условию задачи «Коля собрал в 2 раза меньше грибов, чем Саша», значит, чтобы ответить на вопрос, надо 22 разделить на 2. В результате получилось, что Коля собрал 11 грибов. (22:2=11(грибов) - собрал Коля).
Следующим действием ответим на второй вопрос задачи «Сколько грибов собрал Витя?». По условию задачи «Витя собрал на 6 грибов больше, чем Коля», значит, для ответа на вопрос надо к 11-ти прибавить 6. В результате получилось, что Витя собрал 17 грибов.
22+22:2+(22:2+6)=50 грибов собрали три друга вместе.
Умение решать задачи арифметическим способом с помощью числовых выражений говорит о более высоком уровне математической подготовки по сравнению с умением решать текстовые задачи по действиям.
Список использованной литературы:
- Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие. Текстовые задачи.– Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2006г.
- В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005г.
- Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.
- Н.А. Зарипова Программа элективного курса "Текстовые задачи". http://festival.1september.ru/articles/310281/
- Н.А. Зарипова Методика решения задач группы vts. Материалы к проведению элективного курса "Решение текстовых задач" http://festival.1september.ru/articles/415044/
Использованные изображения:
Обобщение опыта.
Текстовые задачи в школьном курсе математики.
Арифметические способы решения задач.
Солдатова Светлана Анатольевна
учитель математики первой категории
МОУ Угличский физико-математический лицей
2017 г.
«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».
А.В.Шевкин
С термином «задача» мы постоянно сталкиваются в повседневной жизни. Каждый из нас решает те или иные проблемы, которые мы называем задачами. В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и решения человеком .
Задачи, в которых объекты - математические (доказательство теорем, вычислительные упражнения, свойства и признаки изучаемого математического понятия, геометрической фигуры), часто называют математическими задачами . Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми. В начальном обучении математике велика роль текстовых задач.
Решая текстовые задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления.
Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и т. д. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.
Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.
Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой - пристальное внимание обучающих к текстовым задам, которое было характерно для России, - почти исключительно российский феномен.
Одной из причин большого внимания к задачам заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоением ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики - линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.
Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ проверкой полученного результата.
К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу, на растворы и сплавы, на прямую и обратную пропорциональность и т. д.
К этому времени была хорошо разработана методика их применения в учебном процессе, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени.
А ведь именно текстовые задачи и арифметические способы их решения готовят ребенка к овладению алгеброй. А когда это произойдет, то алгебра научит более простым, чем арифметические, способам решения некоторых (но не всех!) задач. Другие же арифметические способы решения так и останутся в активном багаже ученика. Например, если ученика учили делить число в данном отношении, то он и в старших классах не будет делить число 15 в отношении 2:3 с помощью уравнения, он выполнит арифметические действия:
1) ,
2) ,
3) 15 – 6 = 9.
Хочу отметить, что я являюсь представителем именно того поколения школьников, которые были участниками вышеуказанной реформы. Я пошла в школу в 1968 году, и мой учебник в первом классе назывался «Арифметика». Оказывается, мы были последние, кто по нему учился. Во втором классе для меня было удивительным и необычным то, что предмет, а соответственно и учебник, моих подружек-первоклассниц назывался «математика». В третьем классе и мы уже учились по «математике». В среднем звене, а соответственно в старших классах, основным способом решения текстовых задач являлся алгебраический. Влияние реформы конца 60-х я ощущаю по сей день, т.к. у родителей, принимающих участие в учебном процессе детей, в силу того, что у них выработался определённый стереотип, сформировалось мнение, что задачи нужно решать именно с помощью уравнений. Мамы и папы, не зная других приёмов, настойчиво пытаются дома объяснить по-своему, что не всегда приносит пользу, даже порой только усложняет работу учителя.
Ни в коем случае нельзя умалять ценность алгебраического способа решения задач, который является универсальным и порой единственным при решении более сложных задач. К тому же, довольно часто именно уравнение даёт подсказку для нахождения способа решения по действиям. Но практика показала, что раннее применение этого перспективного, с точки зрения дальнейшего использования в обучении, способа решения задач без достаточной подготовки малоэффективно.
В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять максимальное внимания и не торопиться переходить к решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, что находится в результате каждого действия. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе.
Очень часто можно видеть, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводится абстрактная переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что у детей такого возраста развито наглядно-образное мышление. А уравнение - абстрактная модель. Да и инструменты для решения уравнений у детей пятого, начала шестого класса отсутствуют. Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать такими понятиями как «часть», «куча» и т.п. Ребенок должен пройти тот же путь!
Для успешной работы важно, чтобы учитель имел глубокое представление о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами.
Много лет назад у меня в руках оказалось уже давно выпущенное пособие для учителей 5-8 классов (в современной школе – 5-9 классов) «Сборник московских математических олимпиад (с решениями)» 1967 г.в., автор которого - Галина Ивановна Зубелевич. Подавляющее большинство задач в нем решено арифметически, что меня очень заинтересовало. Позднее моё внимание привлекли два учебных пособия «Арифметика,6» , и «Арифметика,6» автор А.В. Шевкин, и пособие для учителя «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» того же автора. Эти источники стали для меня началом работы над данной темой. Предложенные идеи мне показались очень актуальными и созвучными с моим пониманием заявленной темы, а именно:
1) отказ от использования уравнений на ранней стадии обучения и возвращение к более широкому применению арифметических способов решения задач;
2) более широкое использование «исторических» задач и Старинных способов их решения;
3) отказ от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы и рассмотрение цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных.
Типы текстовых задач по способу решения.
Текстовые задачи можно условно разделить на арифметические и алгебраические. Данное разделение обусловлено выбором способа решения, более характерного (рационального) для той или иной задачи.
Арифметические задачи таят в себе огромные возможности для того, чтобы научить школьников самостоятельно думать, анализируя неочевидные жизненные ситуации. Арифметика - самый короткий путь к пониманию природы, так как имеет дело с самыми простыми, самыми фундаментальными, экспериментальными фактами (например, что пересчёт
камней «по строкам» и «по столбцам» всегда приводит к одному
результату):
5+5+5 = 3+3+3+3+3.
Рассмотрим некоторые виды задач.
«Куплено на одинаковую сумму два сорта товара, первого сорта вдвое меньше, чем второго. Их смешали и продали половину смеси по цене высшего, остальное - по цене низшего сорта. Сколько процентов прибыли или убытка получено при продаже?»
Это, по существу, типичная задача, решающаяся введением произвольных единиц меры. Однако и при этом условии необходимое для решения оперирование неизвестными величинами носит здесь отчётливо выраженный алгебраический характер. Наряду с этим часто встречаются задачи, в которых, наоборот, арифметический путь решения значительно проще алгебраического. Это может зависеть от двух причин. В одних случаях переход от известного к неизвестному настолько прост, что составление уравнений (переход от неизвестного к известному) внесло бы ненужную громоздкость, замедляющую процесс решения. Такова, например, следующая задача:
«Однажды Черт предложил Бездельнику заработать. - Как только ты перейдёшь через этот мост, - сказал он – деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала?»
Вторая - классическая задача, интересная парадоксальностью формулировки условия. Этапы «синтетического» решения развёртываются в ней, как и в предыдущей задаче, в порядке, противоположном ходу описанных событий.
«Торговка яйцами продала первому покупателю половину всего числа имевшихся в её корзине яиц и ещё пол-яйца; второму покупателю - половину остатка и ещё пол-яйца, третьему - половину остатка и ещё пол-яйца, после чего у неё ничего не осталось. Сколько яиц было в корзине в начале?»
В других случаях составление уравнения требует проведения такого рассуждения, которое само по себе достаточно для достижения цели. Это-арифметические задачи в полном смысле этого слова: алгебраическое их решение не легче, а труднее и обычно сопряжено с введением лишних неизвестных, которые потом приходится исключать, и т.п.
Так, если, например, в задаче «Таня сказала: у меня на 3 брата больше, чем сестёр. На сколько в Таниной семье братьев больше, чем сестёр?» обозначить число братьев через x, число сестёр через y, то уравнение будет x − (y − 1) = 3, но если мы уже догадались, что надо написать y−1 (сестра сама себя не считала), то и так ясно, что братьев не на 3, а только на 2 больше, чем сестёр.
Приведём ещё несколько примеров.
«Я грёб вверх по течению и, проезжая под мостом, потерял шляпу. Через 10 мин я это заметил и, повернув и гребя с той же силой, нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова скорость течения реки?»
Решение: 1 (60:(10+10))=3(км/ч)
«К моему приезду на станцию за мной обычно высылали машину. Приехав однажды на час раньше, я пошёл пешком и, встретив посланную за мной машину, прибыл с ней на место на 10 мин раньше обычного срока. Во сколько раз машина идёт быстрее, чем я пешком?»
Рассмотрим решение данной задачи по действиям:
1) 10:2=5 (мин) – время, которое оставалось машине для приезда на станцию в срок от места встречи.
2) 60-5=55 (мин) - время, которое затратил пешеход на то же расстояние.
3) 55:5=11(раз) машина едет быстрее.
«Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению на лодке, требуется времени втрое меньше, чем против течения. Во сколько раз скорость движения лодки больше скорости течения?»
В этой задаче надо догадаться перейти от времени к расстояниям.
Это очень хорошие арифметические задачи: они требуют ясного представления о соответствующей конкретной ситуации, а не действий по заученным формальным образцам.
Вот ещё пример арифметической задачи, для решения которой не надо производить никаких «действий»:
« Какой-то озорник из бутылки с дегтем перелил ложку дегтя в банку с медом. Перемешал тщательно, а затем такую же ложку смеси перелил из банки в бутылку с дегтем. Затем он проделал это ещё раз. Чего получилось больше: меда в бутылке с дегтем или дегтя в банке с медом? »
Для решения задачи достаточно задать себе вопрос: куда девался из бутылки дёготь, который был вытеснен мёдом?
Это не алгебра, не приведение подобных членов и не «перенесение из одной части в другую с обратным знаком». Это как раз та логика, связанная с воображаемыми, но имеющими в области изучаемых величин вполне реальное значение операциями, развитие и совершенствование которой входит в прямые задачи арифметики.
Разграничения между арифметическими и алгебраическими по своему характеру задачами являются как бы несколько размытыми, так как они зависят от количественных признаков, в оценке которых можно расходиться, подобно тому как нельзя провести грань между «несколькими зёрнами» и «кучей зёрен».
Остановимся подробнее на видах текстовых задач и способах их решения. Рассмотрим те задачи, которые многие склонны решать с помощью уравнений, а они при этом имеют простые и порой очень красивые решения по действиям.
1. Нахождение задач по их кратному отношению и сумме или разности (на «части»).
Знакомство с такими задачами надо начинать с тех, где речь идёт о частях в чистом виде. При их решении создаётся основа для решения задач на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходиться на другую величину, на их сумму (разность).
а) Для варенья на 2 части клубники берут 3 части сахара. Сколько сахара нужно взять на 3 кг клубники?
б) Купили 2700 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши – 3 части, сливы – 2 части. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности?
в) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось. Сколько страниц в книге, если она прочитала на 42 страницы меньше?
Решение данной задачи желательно начинать с чертежа:
1) – приходиться на 42 страницы.
2) – 1 часть, или столько страниц прочитала девочка.
3) – в книге.
В дальнейшем ученики смогут решать и более сложные задачи.
в) Задача С.А. Рачинского. Я провел год в Москве, в деревне и в дороге - и притом в Москве в 8 раз больше времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней я провел в дороге, в Москве и в деревне?
г) При уборке урожая в совхозе ученики собрали помидоров в 2 раза больше, чем огурцов, и в 3 раза меньше, чем картофеля. Сколько овощей в отдельности собрали ученики, если картофеля было собрано на 200 кг больше, чем помидоров?
д) Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза».
е) Сумма двух чисел 37,75. Если первое слагаемое увеличить в 5 раз, а второе слагаемое – в 3 раза, то новая сумма окажется равной 154,25. Найти эти числа.
Задачи на делении числа в данном отношении относятся к данному типу.
2. Нахождение двух чисел по их сумме и разности.
а) В двух пачках 50 тетрадей, причём в первой пачке на 8 тетрадей больше. Сколько тетрадей в каждой пачке?
Решение задач такого вида я обязательно начинаю с чертежа. Затем предлагаю уравнять величины. Ребята предлагают два способа: убрать из первой пачки или добавить во вторую. Так определяются основные два способа: через удвоенное меньшее число или удвоенное большее число.
Когда эти способы будут отработаны, уместно показать «старинный» способ решения задач такого вида. После вопроса «Каким образом можно уравнять стопки тетрадей, и при этом общее количество тетрадей не изменилось?» учащиеся догадываются, как это сделать, и делают вывод: чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы вычесть полуразность, а, чтобы найти большее число, надо к полусумме прибавить полуразность. Сильные учащиеся могут обосновать этот способ с помощью преобразования буквенных выражений:
С применением данного способа следующая задача решается в одно действие:
б) Среднее арифметическое двух чисел равно 3, а их полуразность равна 1. Какова величина меньшего числа?
– меньшее число.
Приём уравнивания применим и в задаче:
в) 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За это время каждому телёнку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый телёнок и каждая овца?
3. Задачи на «предположение».
Задачи такого типа связаны с предполагаемыми действиями с предметами и величинами. В традиционной методике задачи такого типа имели и другие названия по наиболее известным задачам: на «синее и красное сукно», на «смешение ΙΙ рода». Думаю, что самой известной среди задач на «предположение» является старинная китайская задача.
а) В клетке сидят фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.
Представьте, что в клетке сидят только фазаны. Сколько у них ног?
Почему ног меньше? (Не все фазаны, среди них есть кролики). На сколько ног больше?
Если одного фазана заменить на кролика, то на сколько увеличится число ног? (На 2)
Можно выбрать другой способ, представив, что все кролики.
Очень интересно другое рассуждение, данное старыми мастерами методики математики и вызывающее у детей большой интерес.
-
Представим, что на верх клетки, в которой
сидят фазаны и кролики, мы положили
морковку. Все кролики встанут на задние
лапки, чтобы дотянуться до морковки.
Сколько ног в этот момент будет стоять
на земле?
2·35=
70(н.)
-
Но в условии задачи даны 94 ноги, где же
остальные?
- Остальные не посчитаны - это передние лапы кроликов.
-
Сколько их?
94
– 70 = 24(н.)
-
Сколько же кроликов?
24:2
= 12
А
фазанов?
35
– 12 = 23
Усвоив алгоритм рассуждения, ребята легко решают и следующие задачи:
б) Смешали 135 фунтов чая двух сортов общей стоимостью 540р. Сколько фунтов того и другого сорта в отдельности взяли, если фунт первого сорта стоил 5р., а фунт второго сорта стоил 3р.?
в) На 94р. купили 35 аршин синего и красного сукна. За аршин синего сукна платили по 2р., а за аршин красного сукна платили по 4р. Сколько аршин того и другого сукна в отдельности купили?
г) Хозяин купил 112 баранов старых и молодых и заплатил 49р. 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько и каких баранов было куплено? Алтын – 3 копейки, полушка – четверть копейки.
Интересной мне показалась задача из статьи И.В. Арнольда «Принципы отбора и составления арифметических задач» (1946г.) про вагоны:
д) «Проезжая мимо станции, я заметил стоящий на станции товарный поезд из 31 вагона и услышал разговор смазчика со сцепщиком. Первый сказал: „105 осей всего пришлось проверить“. Второй заметил, что в составе много четырёхосных вагонов-втрое больше, чем двухосных, остальные трёхосные. На следующем перегоне я захотел, от нечего делать, подсчитать, сколько каких вагонов было в этом составе. Как это сделать?»
Арифметическое решение - проще алгебраического и требует отчётливого представления о том, что двухосные и четырёхосные входят в состав (в количественном отношении) определенными группами (по 4 вагона). Воображаемая «замена» всех вагонов трёхосными- обычный и уже хорошо знакомый учащимся приём.
Вспомогательным средством может служить графическое линейное отображение условий задачи.
4. Задачи на движение.
Данные задачи являются традиционно трудными. У учащихся должны быть хорошо сформированы такие понятия как скорость сближения и скорость удаления. Когда ученики научатся решать такие задачи с помощью уравнения, им будет гораздо проще добраться до ответа. Но легче - не значит полезнее. Много лет назад один мой ученик, довольно-таки сильный в математике, на уроке увлечённо искал арифметический способ решения задачи, в то время, когда весь класс её решил с помощью уравнения. Я хорошо запомнила его слова, очень мне понятные: «А мне не интересно уравнением».
Приведу условия и решение нескольких задач.
а) Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?
Решение:
1) на столько отстал второй поезд.
2) – скорость удаления.
3) был в пути первый поезд.
4) расстояние от Москвы до Твери .
б) Два самолёта вылетели одновременно из Москвы в одном и том же направлении: один – со скоростью 350 км/ч, другой – со скоростью 280 км/ч. Через два часа первый уменьшил скорость до 230 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй самолёт догонит первый?
Решение:
1) скорость удаления.
2) – на столько отстал второй самолёт.
3) скорость сближения.
4) столько времени потребуется, чтобы второй самолёт догнал первый.
5) (км) – на таком расстоянии до Москвы второй самолёт догонит первый.
в) Из двух городов, расстояние между которыми 560 км, вышли два автомобиля навстречу друг другу и встретились через 4 часа. Если скорость первого автомобиля уменьшить на 15%, а скорость второго увеличить на 20%, то встреча произойдёт тоже через 4 ч. Найти скорость каждого автомобиля.
Решение:
Примем за 100% или за 1 скорость первого автомобиля.
1) скорость сближения.
2) – составляет скорость второго от скорости первого.
3) приходится на скорость сближения.
4) скорость первого автомобиля.
5) скорость второго автомобиля .
г) Поезд за четверть минуты проходит мимо телеграфного столба, а за 50 с – мост длиною 0,7 км. Вычислить среднюю скорость движения поезда и его длину.
Решение: При решении данной задачи учащиеся должны понять, что, пройти мост – пройти путь, равный длине моста и длине состава, пройти мимо телеграфного столба – пройти путь, равный длине состава.
1) поезд проходит путь, равный длине моста.
2) – скорость поезда.
3) длина поезда.
д) На прохождение пути между двумя пристанями пароходу необходимо на 40 мин больше, чем катеру. Скорость катера 40 км/ч, а парохода – 30 км/ч. Найти расстояние между пристанями.
Решение: 40 мин ч
1) отставание парохода.
2) – скорость удаления
2) – был в пути катер.
3) расстояние между пристанями.
Это лишь несколько задач на движения из их огромного многообразия. На их примере я хотела показать, как можно обойтись без уравнений, пока умения их решать у учащихся не сформированы. Естественно, такие задачи под силу сильным ученикам, но это большая возможность для их математического развития.
5. Задачи на «бассейны».
Это ещё один тип задач, вызывающий и интерес, и трудности у детей. Его можно назвать и задачами на совместную работу, к ним относится и часть задач на движение.
Название данного типа даёт не без известная старинная задача:
а) В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить бассейн в 1ч, другая, более тонкая, в 2 ч, третья, ещё более тонкая, в 3ч. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполнят бассейн?
Решение:
1) (в./ч) – скорость заполнения через ΙΙ трубу трубу.
2) (в./ч) – скорость заполнения через ΙΙΙ трубу.
3) (в./ч) – общая скорость.
4) (ч) – заполнят водоём 3 трубы.
Можно предложить детям ещё одно интересное решение:
За 6 часов через Ι трубу заполняется 6 водоёмов, через ΙΙ трубу – 3 водоёма, через ΙΙΙ трубу – 2 водоёма. Все трубы за 6 ч заполнят 11 водоёмов, соответственно на заполнение одного водоёма потребуется ч.
Аналогичное решение имеет следующая задача:
б) Лев съел овцу одни часом, а волк съел овцу за два часа, а пёс съел овцу в три часа. Сколько бы они скоро, все три – лев, волк и пёс – ту овцу съели, сочти. (Математические рукописи 17 века).
в) Один человек выпьет кадь пития за 14 дней, а со женою выпьет туже кадь за 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. (из «Арифметики» Магницкого)
Решение:
1) (ч) – выпивают в день вместе.
) (ч) – выпивает в день муж.
3) (ч) – выпивает в день жена.
4) (д.) – потребуется жене, чтобы выпить кадь пития.
г) Старинная задача. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? (решение аналогичное)
д) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в В. Через сколько часов после выхода из В второй пришёл в А? (ч) - будут работать вместе.
7) – потребуется для разгрузки баржи.
6. Задача Ньютона.
Особый интерес у ребят вызывает задача о коровах, поедающих траву. Задача впервые была опубликована во «Всеобщей арифметике» И. Ньютона, но с той поры она не утратила своей актуальности и является одной из красивых арифметических задач, которую хотя и можно решить составлением уравнения, но намного красивее – сделать это с помощью последовательных рассуждений. Мне приходилось наблюдать, как над ней ломают голову старшеклассники, вводя несколько переменных, и в то же время легко разбираются в решении пятиклассники, если им подсказать идею решения.
7) (п.) – буде съедено в день, а это и есть количество коров.
Ответ: 20 коров.
В данной работе приведены примеры и разобраны лишь некоторые из огромного количества текстовых задач.
В завершении хотелось бы отметить, что необходимо приветствовать различные способы решения задач. Именно решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны деятельности. Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.
Литература.
1. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Известия АПН РСФСР. 1946. - Вып. 6 - С. 8-28.
2. Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. – М.: Просвещение, 1971.
3. Шевкин А. В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах. – М.: Галс плюс,1998.
4 . Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.
Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам
Вебинары , курсы повышения квалификации , профессиональная переподготовка и профессиональное обучение . Низкие цены. Более 7900 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.
