Урок 1 .

Функция у=кх и ее график.

Учитель математики школы № 92

Павловская Нина Михайловна


  • систематизировать и развивать у учащихся знания

по теме функция, область определения функции,

график функции;

  • ввести понятие прямой пропорциональности;
  • сформировать умение строить и читать график

функции, заданной формулой у = кх;

  • научиться определять:

- положение графика на координатной плоскости,

- принадлежность данной точки графику;

  • научиться по графику задавать формулой прямую

пропорциональность;

  • способствовать развитию познавательного интереса

учащихся

  • побуждать учеников к само-, взаимоконтролю,

вызывать у них потребность в обосновании своих

высказываний.

Цели урока:


Разминка.

1. По графику изменения температуры воздуха в течение суток, найти значение температуры в 6ч,12ч,18ч .


2. Что называют областью допустимых значений переменной алгебраической дроби?

3. Найдите допустимые значения переменной для дроби:


0 k Функцию вида у = kх называют прямой пропорциональностью, где х – переменная, k – угловой коэффициент. Построить графики функций: у Свойства: 8 7 а) у = 2х; б) у = - 3х. 1. Область определения 6 5 2. Графиком является прямая, проходящая через начало координат. 4 II I 3 2 3. Если k 0, график проходит через I и III четверть и образует острый угол с положительным направлением оси х. 1 -3 -2 -1 3 2 1 х -4 О -1 -2 III IV -3 4 . Если k -4 -5 -6 -7 -8" width="640"

у = 2х

у = -3х

k0

k

Функцию вида у = kх называют прямой пропорциональностью, где х – переменная, k – угловой коэффициент.

Построить графики

функций :

у

Свойства :

8

7

а) у = 2х; б) у = - 3х.

1. Область определения

6

5

2. Графиком является прямая, проходящая через начало координат.

4

II

I

3

2

3. Если k 0, график проходит через I и III четверть и образует острый угол с положительным направлением оси х.

1

-3

-2

-1

3

2

1

х

-4

О

-1

-2

III

IV

-3

4 . Если k

-4

-5

-6

-7

-8


1 график вытягивается вдоль оси у. 2. Если |k| вдоль оси х." width="640"

Построй графики функций в одной и той же системе координат. Найди особенность расположения графиков и сделай вывод.

а) у = 5х;

б) у = - 4х;

г) у = – 0,5х.

в) у = 0,2х;

Вывод:

  • Если |k|1 график вытягивается

вдоль оси у.

2. Если |k|

вдоль оси х.


По графику определи вид функции и задай ее формулой, а также дай ей характеристику.

в

г

а) у = 0,5х

б

д

б) у = х

а

е

в) у = 2х

г) у = - 2х

д) у = - х

е) у = - 0,5х


Решить из учебника

  • Устно: № 490, 491.
  • Письменно: № 493, 494(а,в), 495(а,в)

Подведение итогов урока:

  • Что является графиком функции у = kх ?
  • Что называют угловым коэффициентом прямой у = kх ?
  • В каких координатных четвертях расположен график функции у = kх при k 0, при k 0?

Запишите домашнее задание:

п.6.1, 6.2 учебника,

№ 494(б, г), 495(б, г), 496.

№ 644 – по желанию.

Урок алгебры в 7 классе по учебнику Мордковича Александра Григорьевича.

Линейная функция y=kx и ее график.

Цели:

    Обобщить и углубить знания по теме «Линейная функция y = kx +m и ее график» Рассмотреть свойства графиков линейных функций y = kx с различными коэффициентами k .

    Способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, сравнивать, обобщать.

    Вызывать у обучающихся потребность в обосновании своих высказываний, воспитывать самоконтроль и взаимоконтроль.

Ход урока:

Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

Вы уже изучили линейную функцию y =kx +m и научились строить графики этой функции, а сейчас, рассмотрите, пожалуйста, графики следующих функций и ответьте на вопросы:

СЛАЙД 2

На координатной плоскости построены графики линейных функций:

y =x ,

y =0,5x ;

y =-x ;

y =-4x

Будут ли эти функции линейными? Почему? Что общего в этих четырех рассмотренных функциях? Чем они отличаются от ранее изученных линейных функций?

СЛАЙД 3

Графики данных линейных функций.

СЛАЙД 4 (вопросы к слайду 3)

Ответы:

Графики данных линейных функций находятся либо в 1 и 3 четвертях, либо во 2 и 4 четвертях.

Какая связь между коэффициентом k и расположением графика на координатной плоскости?

СЛАЙД 5(ответы на вопросы к слайду 4)

Все графики данных линейных функций проходят через начало координат О(0;0)

СЛАЙД 6

Если коэффициент k <0, то линейная функция убывает и расположена во 2 и 4 четвертях.

СЛАЙД 7

Если коэффициент k >0, то линейная функция возрастает и расположена в первой и третьей четвертях.

СЛАЙД 8

А сейчас выполните следующие задачи в учебнике № 348(а, б), 355:

Задача № 348(а; б).
Постройте график линейной функции:
а) y =2x ,
б) y =-3x .
На одной координатной плоскости.
Что вы можете сказать про графики данных линейных функций?

(Они проходят через начало координат, линейная функция y=2x – возрастающая и расположена в 1 и 3 четвертях, а линейная функция y=-3x –убывающая и расположена во 2 и 4 четвертях).

СЛАЙД 9

Решение (нахождение координат точек данных линейных функций). Какое количество координат точек необходимо для построения графика заданных линейных функций? Почему? (Одну, потому что графики данных линейных проходят через начало координат, то есть точку с координатой (0;0), а она нам уже известна.)

СЛАЙД10

Если вы правильно выполнили задание, то у вас должен получиться такой график.

СЛАЙД11

График линейной функции y = -3x строим аналогичным образом

Что вы можете сказать про данную функцию? В каких четвертях будет находиться график данной линейной функции?

Если берем значение абсциссы положительное, то ордината получается отрицательная, и, наоборот, если, значение абсциссы отрицательная, то ордината получается положительная.

СЛАЙД12

Если вы правильно выполнили задание, то у вас должен получиться такой график данной линейной функции y=-3x.

СЛАЙД13

(Формулирование задачи № 355)

СЛАЙД14

(Вопросы, активирующие решение поставленной задачи).

СЛАЙД15

Нахождение координат точек для построения графика данной линейной функции y=0,4x .

СЛАЙД16

По графику данной линейной функции находим значение ординаты, соответствующее значению абсциссы, равному 0; 5; 10; -5.

Если x =0,то y =0

Если x =5, то y =2

Если x =10, то y =4

Если x =-5,то y =-2

СЛАЙД17

По графику данной линейной функции находим значение x , соответствующее значению y , равному 0; 2; 4; -2.

Если y =0, то x =0

Если y =2, то x =5

Если y =4,то x =10

Если y =-2, то x =-5

СЛАЙД18

Решение неравенства: 0,4x >0 . Что нам необходимо знать, чтобы решить это неравенство? Найти при каких значениях абсциссы (x) график данной линейной функции будет находиться выше оси ox.

СЛАЙД19

Теперь, с помощью графика данной линейной функции решим неравенство: -2≤y ≤0 .

Давайте подумаем, как решить данное неравенство?

1.Отметим на оси oy точки y =-2 и y =0.

2. Получим отрезок прямой, который лежит в пределах значений -2≤y ≤0:

Из ординаты равной -2 и ординаты равной 0 опустим перпендикуляр к графику данной линейной функции.

3. Из концов отрезка графика прямой, опустим перпендикуляры на ось ox.

4. Получили значения абсциссы, в пределах которых лежит график данной прямой: -5≤x ≤0. Этот промежуток и будет являться решением данного задания.

СЛАЙД 20

Домашнее задание – самостоятельное выполнение № 356.

Важно!

Функцию вида «y = kx + b » называют линейной функцией.

Буквенные множители «k » и «b » называют числовыми коэффициентами .

Вместо «k » и «b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо «k » и «b » стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b ».

  • y = 5x + 3
  • y = −x + 1
  • y = x − 2 k =
    2
    3
    b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0

    Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b ».

    Рассматривая функцию «y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента «b » в функции нет.

    Числовый коэффициент «b » присутствет в функции типа «y = kx + b » всегда. В функции «y = 0,5x » числовый коэффициент «b » равен нулю .

    Как построить график линейной функции
    «y = kx + b »

    Запомните!

    Графиком линейной функции «y = kx + b » является прямая .

    Так как графиком функции «y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией .

    Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

    Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
    «у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

    Для примера построим график функции «y = −2x + 1 ».

    Найдем значение функции «y » для двух произвольных значений «x ». Подставим, например, вместо «x » числа «0 » и «1 ».

    Важно!

    Выбирая произвольные числовые значения вместо «x », лучше брать числа «0 » и «1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

    Полученные значения «x » и «y » — это координаты точек графика функции.

    Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1 » в таблицу.

    Отметим полученные точки на системе координат.


    Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции «y = −2x + 1 ».


    Как решать задачи на
    линейную функцию «y = kx + b »

    Рассмотрим задачу.

    Построить график функции «y = 2x + 3 ». Найти по графику:

    1. значение «y » соответствующее значению «x » равному −1; 2; 3; 5 ;
    2. значение «x », если значение «y » равно 1; 4; 0; −1 .

    Вначале построим график функции «y = 2x + 3 ».

    Используем правила, по которым мы выше. Для построения графика функции «y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

    Выберем два произвольных числовых значения для «x ». Для удобства расчетов выберем числа «0 » и «1 ».

    Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

    Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

    Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции «y = 2x + 3 ».

    Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3 ».

    Требуется найти значение «y », соответствующее значению «x »,
    которое равно −1; 2; 3; 5 .

    • Ox » к нулю (x = 0) ;
    • подставить вместо «x » в формулу функции ноль и найти значение «y »;
    • Oy » .

    Подставим вместо «x » в формулу функции «y = −1,5x + 3 » число ноль.

    Y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3


    (0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3 » c осью «Oy ».

    Запомните!

    Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
    с осью «Ox » (осью абсцисс) нужно:

    • приравнять координату точки по оси «Oy » к нулю (y = 0) ;
    • подставить вместо «y » в формулу функции ноль и найти значение «x »;
    • записать полученные координаты точки пересечения с осью «Oy » .

    Подставим вместо «y » в формулу функции «y = −1,5x + 3 » число ноль.

    0 = −1,5x + 3
    1,5x = 3 | :(1,5)
    x = 3: 1,5
    x = 2


    (2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3 » c осью «Ox ».

    Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

    Важно!

    Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью «Ox » , то приравниваем «y » к нулю.

    И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью «Oy » , то приравниваем «x » к нулю.

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0 , получим постоянную функцию y = b , график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b) .

Если b = 0 , то получим функцию y = kx , которая является прямой пропорциональностью.

b – длина отрезка , который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0 , то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0 , то область значений линейной функции состоит из числа b ;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b .

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k , следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b , следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0 , то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х . Если b ≠ 0 и k = 0 , то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х .

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞) ,

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k) .

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k) ,

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞) .

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k .

k > 0 , следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0 , следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b . Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует.